Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
equvinv |
⊢ ( 𝑦 = 𝑧 ↔ ∃ 𝑥 ( 𝑥 = 𝑦 ∧ 𝑥 = 𝑧 ) ) |
2 |
|
ideqg |
⊢ ( 𝑦 ∈ V → ( 𝑥 I 𝑦 ↔ 𝑥 = 𝑦 ) ) |
3 |
2
|
elv |
⊢ ( 𝑥 I 𝑦 ↔ 𝑥 = 𝑦 ) |
4 |
|
ideqg |
⊢ ( 𝑧 ∈ V → ( 𝑥 I 𝑧 ↔ 𝑥 = 𝑧 ) ) |
5 |
4
|
elv |
⊢ ( 𝑥 I 𝑧 ↔ 𝑥 = 𝑧 ) |
6 |
3 5
|
anbi12i |
⊢ ( ( 𝑥 I 𝑦 ∧ 𝑥 I 𝑧 ) ↔ ( 𝑥 = 𝑦 ∧ 𝑥 = 𝑧 ) ) |
7 |
6
|
exbii |
⊢ ( ∃ 𝑥 ( 𝑥 I 𝑦 ∧ 𝑥 I 𝑧 ) ↔ ∃ 𝑥 ( 𝑥 = 𝑦 ∧ 𝑥 = 𝑧 ) ) |
8 |
1 7
|
bitr4i |
⊢ ( 𝑦 = 𝑧 ↔ ∃ 𝑥 ( 𝑥 I 𝑦 ∧ 𝑥 I 𝑧 ) ) |
9 |
8
|
opabbii |
⊢ { 〈 𝑦 , 𝑧 〉 ∣ 𝑦 = 𝑧 } = { 〈 𝑦 , 𝑧 〉 ∣ ∃ 𝑥 ( 𝑥 I 𝑦 ∧ 𝑥 I 𝑧 ) } |
10 |
|
df-id |
⊢ I = { 〈 𝑦 , 𝑧 〉 ∣ 𝑦 = 𝑧 } |
11 |
|
df-coss |
⊢ ≀ I = { 〈 𝑦 , 𝑧 〉 ∣ ∃ 𝑥 ( 𝑥 I 𝑦 ∧ 𝑥 I 𝑧 ) } |
12 |
9 10 11
|
3eqtr4ri |
⊢ ≀ I = I |