Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
cramerimplem1.a |
⊢ 𝐴 = ( 𝑁 Mat 𝑅 ) |
2 |
|
cramerimplem1.v |
⊢ 𝑉 = ( ( Base ‘ 𝑅 ) ↑m 𝑁 ) |
3 |
|
cramerimplem1.e |
⊢ 𝐸 = ( ( ( 1r ‘ 𝐴 ) ( 𝑁 matRepV 𝑅 ) 𝑍 ) ‘ 𝐼 ) |
4 |
|
cramerimplem1.d |
⊢ 𝐷 = ( 𝑁 maDet 𝑅 ) |
5 |
|
crngring |
⊢ ( 𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring ) |
6 |
5
|
anim2i |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ) → ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ) |
7 |
6
|
ancomd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ) → ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ) ) |
8 |
7
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ) → ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ) ) |
9 |
|
simp3 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ) → 𝐼 ∈ 𝑁 ) |
10 |
9
|
anim1i |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) → ( 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) ) |
11 |
1
|
fveq2i |
⊢ ( 1r ‘ 𝐴 ) = ( 1r ‘ ( 𝑁 Mat 𝑅 ) ) |
12 |
2 11 3
|
1marepvmarrepid |
⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) ) → ( 𝐼 ( 𝐸 ( 𝑁 matRRep 𝑅 ) ( 𝑍 ‘ 𝐼 ) ) 𝐼 ) = 𝐸 ) |
13 |
8 10 12
|
syl2an2r |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) → ( 𝐼 ( 𝐸 ( 𝑁 matRRep 𝑅 ) ( 𝑍 ‘ 𝐼 ) ) 𝐼 ) = 𝐸 ) |
14 |
13
|
eqcomd |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) → 𝐸 = ( 𝐼 ( 𝐸 ( 𝑁 matRRep 𝑅 ) ( 𝑍 ‘ 𝐼 ) ) 𝐼 ) ) |
15 |
14
|
fveq2d |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) → ( 𝐷 ‘ 𝐸 ) = ( 𝐷 ‘ ( 𝐼 ( 𝐸 ( 𝑁 matRRep 𝑅 ) ( 𝑍 ‘ 𝐼 ) ) 𝐼 ) ) ) |
16 |
4
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) → 𝐷 = ( 𝑁 maDet 𝑅 ) ) |
17 |
16
|
fveq1d |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝐼 ( 𝐸 ( 𝑁 matRRep 𝑅 ) ( 𝑍 ‘ 𝐼 ) ) 𝐼 ) ) = ( ( 𝑁 maDet 𝑅 ) ‘ ( 𝐼 ( 𝐸 ( 𝑁 matRRep 𝑅 ) ( 𝑍 ‘ 𝐼 ) ) 𝐼 ) ) ) |
18 |
|
simpl2 |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) → 𝑅 ∈ CRing ) |
19 |
9
|
anim1ci |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) → ( 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ) ) |
20 |
1
|
eqcomi |
⊢ ( 𝑁 Mat 𝑅 ) = 𝐴 |
21 |
20
|
fveq2i |
⊢ ( Base ‘ ( 𝑁 Mat 𝑅 ) ) = ( Base ‘ 𝐴 ) |
22 |
|
eqid |
⊢ ( 1r ‘ 𝐴 ) = ( 1r ‘ 𝐴 ) |
23 |
1 21 2 22
|
ma1repvcl |
⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ) ) → ( ( ( 1r ‘ 𝐴 ) ( 𝑁 matRepV 𝑅 ) 𝑍 ) ‘ 𝐼 ) ∈ ( Base ‘ ( 𝑁 Mat 𝑅 ) ) ) |
24 |
8 19 23
|
syl2an2r |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) → ( ( ( 1r ‘ 𝐴 ) ( 𝑁 matRepV 𝑅 ) 𝑍 ) ‘ 𝐼 ) ∈ ( Base ‘ ( 𝑁 Mat 𝑅 ) ) ) |
25 |
3 24
|
eqeltrid |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) → 𝐸 ∈ ( Base ‘ ( 𝑁 Mat 𝑅 ) ) ) |
26 |
9
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) → 𝐼 ∈ 𝑁 ) |
27 |
|
elmapi |
⊢ ( 𝑍 ∈ ( ( Base ‘ 𝑅 ) ↑m 𝑁 ) → 𝑍 : 𝑁 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) |
28 |
|
ffvelrn |
⊢ ( ( 𝑍 : 𝑁 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ) → ( 𝑍 ‘ 𝐼 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) |
29 |
28
|
ex |
⊢ ( 𝑍 : 𝑁 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) → ( 𝐼 ∈ 𝑁 → ( 𝑍 ‘ 𝐼 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ) |
30 |
27 29
|
syl |
⊢ ( 𝑍 ∈ ( ( Base ‘ 𝑅 ) ↑m 𝑁 ) → ( 𝐼 ∈ 𝑁 → ( 𝑍 ‘ 𝐼 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ) |
31 |
30 2
|
eleq2s |
⊢ ( 𝑍 ∈ 𝑉 → ( 𝐼 ∈ 𝑁 → ( 𝑍 ‘ 𝐼 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ) |
32 |
31
|
com12 |
⊢ ( 𝐼 ∈ 𝑁 → ( 𝑍 ∈ 𝑉 → ( 𝑍 ‘ 𝐼 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ) |
33 |
32
|
3ad2ant3 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ) → ( 𝑍 ∈ 𝑉 → ( 𝑍 ‘ 𝐼 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ) |
34 |
33
|
imp |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) → ( 𝑍 ‘ 𝐼 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) |
35 |
|
smadiadetr |
⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ ( Base ‘ ( 𝑁 Mat 𝑅 ) ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ ( 𝑍 ‘ 𝐼 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ) → ( ( 𝑁 maDet 𝑅 ) ‘ ( 𝐼 ( 𝐸 ( 𝑁 matRRep 𝑅 ) ( 𝑍 ‘ 𝐼 ) ) 𝐼 ) ) = ( ( 𝑍 ‘ 𝐼 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( ( 𝑁 ∖ { 𝐼 } ) maDet 𝑅 ) ‘ ( 𝐼 ( ( 𝑁 subMat 𝑅 ) ‘ 𝐸 ) 𝐼 ) ) ) ) |
36 |
18 25 26 34 35
|
syl22anc |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) → ( ( 𝑁 maDet 𝑅 ) ‘ ( 𝐼 ( 𝐸 ( 𝑁 matRRep 𝑅 ) ( 𝑍 ‘ 𝐼 ) ) 𝐼 ) ) = ( ( 𝑍 ‘ 𝐼 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( ( 𝑁 ∖ { 𝐼 } ) maDet 𝑅 ) ‘ ( 𝐼 ( ( 𝑁 subMat 𝑅 ) ‘ 𝐸 ) 𝐼 ) ) ) ) |
37 |
17 36
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝐼 ( 𝐸 ( 𝑁 matRRep 𝑅 ) ( 𝑍 ‘ 𝐼 ) ) 𝐼 ) ) = ( ( 𝑍 ‘ 𝐼 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( ( 𝑁 ∖ { 𝐼 } ) maDet 𝑅 ) ‘ ( 𝐼 ( ( 𝑁 subMat 𝑅 ) ‘ 𝐸 ) 𝐼 ) ) ) ) |
38 |
2 11 3
|
1marepvsma1 |
⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) ) → ( 𝐼 ( ( 𝑁 subMat 𝑅 ) ‘ 𝐸 ) 𝐼 ) = ( 1r ‘ ( ( 𝑁 ∖ { 𝐼 } ) Mat 𝑅 ) ) ) |
39 |
8 10 38
|
syl2an2r |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) → ( 𝐼 ( ( 𝑁 subMat 𝑅 ) ‘ 𝐸 ) 𝐼 ) = ( 1r ‘ ( ( 𝑁 ∖ { 𝐼 } ) Mat 𝑅 ) ) ) |
40 |
39
|
fveq2d |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) → ( ( ( 𝑁 ∖ { 𝐼 } ) maDet 𝑅 ) ‘ ( 𝐼 ( ( 𝑁 subMat 𝑅 ) ‘ 𝐸 ) 𝐼 ) ) = ( ( ( 𝑁 ∖ { 𝐼 } ) maDet 𝑅 ) ‘ ( 1r ‘ ( ( 𝑁 ∖ { 𝐼 } ) Mat 𝑅 ) ) ) ) |
41 |
40
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) → ( ( 𝑍 ‘ 𝐼 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( ( 𝑁 ∖ { 𝐼 } ) maDet 𝑅 ) ‘ ( 𝐼 ( ( 𝑁 subMat 𝑅 ) ‘ 𝐸 ) 𝐼 ) ) ) = ( ( 𝑍 ‘ 𝐼 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( ( 𝑁 ∖ { 𝐼 } ) maDet 𝑅 ) ‘ ( 1r ‘ ( ( 𝑁 ∖ { 𝐼 } ) Mat 𝑅 ) ) ) ) ) |
42 |
|
diffi |
⊢ ( 𝑁 ∈ Fin → ( 𝑁 ∖ { 𝐼 } ) ∈ Fin ) |
43 |
42
|
anim1ci |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ) → ( 𝑅 ∈ CRing ∧ ( 𝑁 ∖ { 𝐼 } ) ∈ Fin ) ) |
44 |
43
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ) → ( 𝑅 ∈ CRing ∧ ( 𝑁 ∖ { 𝐼 } ) ∈ Fin ) ) |
45 |
44
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) → ( 𝑅 ∈ CRing ∧ ( 𝑁 ∖ { 𝐼 } ) ∈ Fin ) ) |
46 |
|
eqid |
⊢ ( ( 𝑁 ∖ { 𝐼 } ) maDet 𝑅 ) = ( ( 𝑁 ∖ { 𝐼 } ) maDet 𝑅 ) |
47 |
|
eqid |
⊢ ( ( 𝑁 ∖ { 𝐼 } ) Mat 𝑅 ) = ( ( 𝑁 ∖ { 𝐼 } ) Mat 𝑅 ) |
48 |
|
eqid |
⊢ ( 1r ‘ ( ( 𝑁 ∖ { 𝐼 } ) Mat 𝑅 ) ) = ( 1r ‘ ( ( 𝑁 ∖ { 𝐼 } ) Mat 𝑅 ) ) |
49 |
|
eqid |
⊢ ( 1r ‘ 𝑅 ) = ( 1r ‘ 𝑅 ) |
50 |
46 47 48 49
|
mdet1 |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ ( 𝑁 ∖ { 𝐼 } ) ∈ Fin ) → ( ( ( 𝑁 ∖ { 𝐼 } ) maDet 𝑅 ) ‘ ( 1r ‘ ( ( 𝑁 ∖ { 𝐼 } ) Mat 𝑅 ) ) ) = ( 1r ‘ 𝑅 ) ) |
51 |
45 50
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) → ( ( ( 𝑁 ∖ { 𝐼 } ) maDet 𝑅 ) ‘ ( 1r ‘ ( ( 𝑁 ∖ { 𝐼 } ) Mat 𝑅 ) ) ) = ( 1r ‘ 𝑅 ) ) |
52 |
51
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) → ( ( 𝑍 ‘ 𝐼 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( ( 𝑁 ∖ { 𝐼 } ) maDet 𝑅 ) ‘ ( 1r ‘ ( ( 𝑁 ∖ { 𝐼 } ) Mat 𝑅 ) ) ) ) = ( ( 𝑍 ‘ 𝐼 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 1r ‘ 𝑅 ) ) ) |
53 |
5
|
3ad2ant2 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ) → 𝑅 ∈ Ring ) |
54 |
|
eqid |
⊢ ( Base ‘ 𝑅 ) = ( Base ‘ 𝑅 ) |
55 |
|
eqid |
⊢ ( .r ‘ 𝑅 ) = ( .r ‘ 𝑅 ) |
56 |
54 55 49
|
ringridm |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( 𝑍 ‘ 𝐼 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 𝑍 ‘ 𝐼 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 1r ‘ 𝑅 ) ) = ( 𝑍 ‘ 𝐼 ) ) |
57 |
53 34 56
|
syl2an2r |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) → ( ( 𝑍 ‘ 𝐼 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 1r ‘ 𝑅 ) ) = ( 𝑍 ‘ 𝐼 ) ) |
58 |
41 52 57
|
3eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) → ( ( 𝑍 ‘ 𝐼 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( ( 𝑁 ∖ { 𝐼 } ) maDet 𝑅 ) ‘ ( 𝐼 ( ( 𝑁 subMat 𝑅 ) ‘ 𝐸 ) 𝐼 ) ) ) = ( 𝑍 ‘ 𝐼 ) ) |
59 |
15 37 58
|
3eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) → ( 𝐷 ‘ 𝐸 ) = ( 𝑍 ‘ 𝐼 ) ) |