Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
dia1dimid.h |
⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 ) |
2 |
|
dia1dimid.t |
⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) |
3 |
|
dia1dimid.r |
⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) |
4 |
|
dia1dimid.i |
⊢ 𝐼 = ( ( DIsoA ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) |
5 |
|
eqid |
⊢ ( ( DVecA ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) = ( ( DVecA ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) |
6 |
1 5
|
dvalvec |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) → ( ( DVecA ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ∈ LVec ) |
7 |
|
lveclmod |
⊢ ( ( ( DVecA ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ∈ LVec → ( ( DVecA ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ∈ LMod ) |
8 |
6 7
|
syl |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) → ( ( DVecA ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ∈ LMod ) |
9 |
8
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) → ( ( DVecA ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ∈ LMod ) |
10 |
|
eqid |
⊢ ( Base ‘ ( ( DVecA ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ) = ( Base ‘ ( ( DVecA ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ) |
11 |
1 2 5 10
|
dvavbase |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) → ( Base ‘ ( ( DVecA ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ) = 𝑇 ) |
12 |
11
|
eleq2d |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) → ( 𝐹 ∈ ( Base ‘ ( ( DVecA ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ) ↔ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ) |
13 |
12
|
biimpar |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) → 𝐹 ∈ ( Base ‘ ( ( DVecA ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ) ) |
14 |
|
eqid |
⊢ ( LSpan ‘ ( ( DVecA ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ) = ( LSpan ‘ ( ( DVecA ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ) |
15 |
10 14
|
lspsnid |
⊢ ( ( ( ( DVecA ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ ( Base ‘ ( ( DVecA ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ) ) → 𝐹 ∈ ( ( LSpan ‘ ( ( DVecA ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ) ‘ { 𝐹 } ) ) |
16 |
9 13 15
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) → 𝐹 ∈ ( ( LSpan ‘ ( ( DVecA ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ) ‘ { 𝐹 } ) ) |
17 |
1 2 3 5 4 14
|
dia1dim2 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) → ( 𝐼 ‘ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) = ( ( LSpan ‘ ( ( DVecA ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ) ‘ { 𝐹 } ) ) |
18 |
16 17
|
eleqtrrd |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) → 𝐹 ∈ ( 𝐼 ‘ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) |