Theorem divsubdiv

Description: Subtraction of two ratios. (Contributed by Scott Fenton, 22-Apr-2014) (Revised by Mario Carneiro, 2-May-2016)

	Ref	Expression
Assertion	divsubdiv	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0 ) ) ) → ( ( 𝐴 / 𝐶 ) − ( 𝐵 / 𝐷 ) ) = ( ( ( 𝐴 · 𝐷 ) − ( 𝐵 · 𝐶 ) ) / ( 𝐶 · 𝐷 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negcl	⊢ ( 𝐵 ∈ ℂ → - 𝐵 ∈ ℂ )
2		divadddiv	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ - 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0 ) ) ) → ( ( 𝐴 / 𝐶 ) + ( - 𝐵 / 𝐷 ) ) = ( ( ( 𝐴 · 𝐷 ) + ( - 𝐵 · 𝐶 ) ) / ( 𝐶 · 𝐷 ) ) )
3	1 2	sylanl2	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0 ) ) ) → ( ( 𝐴 / 𝐶 ) + ( - 𝐵 / 𝐷 ) ) = ( ( ( 𝐴 · 𝐷 ) + ( - 𝐵 · 𝐶 ) ) / ( 𝐶 · 𝐷 ) ) )
4		simplr	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0 ) ) ) → 𝐵 ∈ ℂ )
5		simprrl	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0 ) ) ) → 𝐷 ∈ ℂ )
6		simprrr	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0 ) ) ) → 𝐷 ≠ 0 )
7		divneg	⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0 ) → - ( 𝐵 / 𝐷 ) = ( - 𝐵 / 𝐷 ) )
8	4 5 6 7	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0 ) ) ) → - ( 𝐵 / 𝐷 ) = ( - 𝐵 / 𝐷 ) )
9	8	oveq2d	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0 ) ) ) → ( ( 𝐴 / 𝐶 ) + - ( 𝐵 / 𝐷 ) ) = ( ( 𝐴 / 𝐶 ) + ( - 𝐵 / 𝐷 ) ) )
10		simpll	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0 ) ) ) → 𝐴 ∈ ℂ )
11		simprll	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0 ) ) ) → 𝐶 ∈ ℂ )
12		simprlr	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0 ) ) ) → 𝐶 ≠ 0 )
13		divcl	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) → ( 𝐴 / 𝐶 ) ∈ ℂ )
14	10 11 12 13	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0 ) ) ) → ( 𝐴 / 𝐶 ) ∈ ℂ )
15		divcl	⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0 ) → ( 𝐵 / 𝐷 ) ∈ ℂ )
16	4 5 6 15	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0 ) ) ) → ( 𝐵 / 𝐷 ) ∈ ℂ )
17	14 16	negsubd	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0 ) ) ) → ( ( 𝐴 / 𝐶 ) + - ( 𝐵 / 𝐷 ) ) = ( ( 𝐴 / 𝐶 ) − ( 𝐵 / 𝐷 ) ) )
18	9 17	eqtr3d	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0 ) ) ) → ( ( 𝐴 / 𝐶 ) + ( - 𝐵 / 𝐷 ) ) = ( ( 𝐴 / 𝐶 ) − ( 𝐵 / 𝐷 ) ) )
19	3 18	eqtr3d	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0 ) ) ) → ( ( ( 𝐴 · 𝐷 ) + ( - 𝐵 · 𝐶 ) ) / ( 𝐶 · 𝐷 ) ) = ( ( 𝐴 / 𝐶 ) − ( 𝐵 / 𝐷 ) ) )
20	4 11	mulneg1d	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0 ) ) ) → ( - 𝐵 · 𝐶 ) = - ( 𝐵 · 𝐶 ) )
21	20	oveq2d	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0 ) ) ) → ( ( 𝐴 · 𝐷 ) + ( - 𝐵 · 𝐶 ) ) = ( ( 𝐴 · 𝐷 ) + - ( 𝐵 · 𝐶 ) ) )
22	10 5	mulcld	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0 ) ) ) → ( 𝐴 · 𝐷 ) ∈ ℂ )
23	4 11	mulcld	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0 ) ) ) → ( 𝐵 · 𝐶 ) ∈ ℂ )
24	22 23	negsubd	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0 ) ) ) → ( ( 𝐴 · 𝐷 ) + - ( 𝐵 · 𝐶 ) ) = ( ( 𝐴 · 𝐷 ) − ( 𝐵 · 𝐶 ) ) )
25	21 24	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0 ) ) ) → ( ( 𝐴 · 𝐷 ) + ( - 𝐵 · 𝐶 ) ) = ( ( 𝐴 · 𝐷 ) − ( 𝐵 · 𝐶 ) ) )
26	25	oveq1d	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0 ) ) ) → ( ( ( 𝐴 · 𝐷 ) + ( - 𝐵 · 𝐶 ) ) / ( 𝐶 · 𝐷 ) ) = ( ( ( 𝐴 · 𝐷 ) − ( 𝐵 · 𝐶 ) ) / ( 𝐶 · 𝐷 ) ) )
27	19 26	eqtr3d	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0 ) ) ) → ( ( 𝐴 / 𝐶 ) − ( 𝐵 / 𝐷 ) ) = ( ( ( 𝐴 · 𝐷 ) − ( 𝐵 · 𝐶 ) ) / ( 𝐶 · 𝐷 ) ) )