Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
dnibndlem7.1 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ ) |
2 |
|
halfre |
⊢ ( 1 / 2 ) ∈ ℝ |
3 |
2
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( 1 / 2 ) ∈ ℝ ) |
4 |
1 3
|
jca |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 1 / 2 ) ∈ ℝ ) ) |
5 |
|
readdcl |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 1 / 2 ) ∈ ℝ ) → ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ ) |
6 |
4 5
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ ) |
7 |
|
reflcl |
⊢ ( ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ → ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) ∈ ℝ ) |
8 |
6 7
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) ∈ ℝ ) |
9 |
8 1
|
jca |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ) |
10 |
|
resubcl |
⊢ ( ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐵 ) ∈ ℝ ) |
11 |
9 10
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐵 ) ∈ ℝ ) |
12 |
1
|
dnicld1 |
⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐵 ) ) ∈ ℝ ) |
13 |
11
|
leabsd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐵 ) ≤ ( abs ‘ ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐵 ) ) ) |
14 |
11 12 3 13
|
lesub2dd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 1 / 2 ) − ( abs ‘ ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐵 ) ) ) ≤ ( ( 1 / 2 ) − ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐵 ) ) ) |
15 |
3
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ( 1 / 2 ) ∈ ℂ ) |
16 |
8
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) ∈ ℂ ) |
17 |
1
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ ) |
18 |
15 16 17
|
subsub3d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 1 / 2 ) − ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐵 ) ) = ( ( ( 1 / 2 ) + 𝐵 ) − ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) ) ) |
19 |
15 17
|
addcomd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 1 / 2 ) + 𝐵 ) = ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) |
20 |
19
|
oveq1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 1 / 2 ) + 𝐵 ) − ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) ) = ( ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) − ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) ) ) |
21 |
17 16 15
|
subsub3d |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 − ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − ( 1 / 2 ) ) ) = ( ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) − ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) ) ) |
22 |
21
|
eqcomd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) − ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) ) = ( 𝐵 − ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − ( 1 / 2 ) ) ) ) |
23 |
18 20 22
|
3eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 1 / 2 ) − ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐵 ) ) = ( 𝐵 − ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − ( 1 / 2 ) ) ) ) |
24 |
14 23
|
breqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 1 / 2 ) − ( abs ‘ ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − 𝐵 ) ) ) ≤ ( 𝐵 − ( ( ⌊ ‘ ( 𝐵 + ( 1 / 2 ) ) ) − ( 1 / 2 ) ) ) ) |