Theorem dochsnkrlem3

Description: Lemma for dochsnkr . (Contributed by NM, 2-Jan-2015)

	Ref	Expression
Hypotheses	dochsnkr.h	⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
	dochsnkr.o	⊢ ⊥ = ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
	dochsnkr.u	⊢ 𝑈 = ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
	dochsnkr.v	⊢ 𝑉 = ( Base ‘ 𝑈 )
	dochsnkr.z	⊢ 0 = ( 0g ‘ 𝑈 )
	dochsnkr.f	⊢ 𝐹 = ( LFnl ‘ 𝑈 )
	dochsnkr.l	⊢ 𝐿 = ( LKer ‘ 𝑈 )
	dochsnkr.k	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
	dochsnkr.g	⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹 )
	dochsnkr.x	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ( ( ⊥ ‘ ( 𝐿 ‘ 𝐺 ) ) ∖ { 0 } ) )
Assertion	dochsnkrlem3	⊢ ( 𝜑 → ( ⊥ ‘ ( ⊥ ‘ ( 𝐿 ‘ 𝐺 ) ) ) = ( 𝐿 ‘ 𝐺 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dochsnkr.h	⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
2		dochsnkr.o	⊢ ⊥ = ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
3		dochsnkr.u	⊢ 𝑈 = ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
4		dochsnkr.v	⊢ 𝑉 = ( Base ‘ 𝑈 )
5		dochsnkr.z	⊢ 0 = ( 0g ‘ 𝑈 )
6		dochsnkr.f	⊢ 𝐹 = ( LFnl ‘ 𝑈 )
7		dochsnkr.l	⊢ 𝐿 = ( LKer ‘ 𝑈 )
8		dochsnkr.k	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
9		dochsnkr.g	⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹 )
10		dochsnkr.x	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ( ( ⊥ ‘ ( 𝐿 ‘ 𝐺 ) ) ∖ { 0 } ) )
11	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	dochsnkrlem1	⊢ ( 𝜑 → ( ⊥ ‘ ( ⊥ ‘ ( 𝐿 ‘ 𝐺 ) ) ) ≠ 𝑉 )
12	11	orcd	⊢ ( 𝜑 → ( ( ⊥ ‘ ( ⊥ ‘ ( 𝐿 ‘ 𝐺 ) ) ) ≠ 𝑉 ∨ ( 𝐿 ‘ 𝐺 ) = 𝑉 ) )
13	1 2 3 4 6 7 8 9	dochkrshp4	⊢ ( 𝜑 → ( ( ⊥ ‘ ( ⊥ ‘ ( 𝐿 ‘ 𝐺 ) ) ) = ( 𝐿 ‘ 𝐺 ) ↔ ( ( ⊥ ‘ ( ⊥ ‘ ( 𝐿 ‘ 𝐺 ) ) ) ≠ 𝑉 ∨ ( 𝐿 ‘ 𝐺 ) = 𝑉 ) ) )
14	12 13	mpbird	⊢ ( 𝜑 → ( ⊥ ‘ ( ⊥ ‘ ( 𝐿 ‘ 𝐺 ) ) ) = ( 𝐿 ‘ 𝐺 ) )