Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
3simpc |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ) |
2 |
|
zmulcl |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( 𝑀 · 𝐾 ) ∈ ℤ ) |
3 |
2
|
3adant2 |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( 𝑀 · 𝐾 ) ∈ ℤ ) |
4 |
|
zmulcl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( 𝑁 · 𝐾 ) ∈ ℤ ) |
5 |
4
|
3adant1 |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( 𝑁 · 𝐾 ) ∈ ℤ ) |
6 |
3 5
|
jca |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑀 · 𝐾 ) ∈ ℤ ∧ ( 𝑁 · 𝐾 ) ∈ ℤ ) ) |
7 |
6
|
3comr |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑀 · 𝐾 ) ∈ ℤ ∧ ( 𝑁 · 𝐾 ) ∈ ℤ ) ) |
8 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ ) → 𝑥 ∈ ℤ ) |
9 |
|
zcn |
⊢ ( 𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ ) |
10 |
|
zcn |
⊢ ( 𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ ) |
11 |
|
zcn |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ ) |
12 |
|
mulass |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ) → ( ( 𝑥 · 𝑀 ) · 𝐾 ) = ( 𝑥 · ( 𝑀 · 𝐾 ) ) ) |
13 |
9 10 11 12
|
syl3an |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑥 · 𝑀 ) · 𝐾 ) = ( 𝑥 · ( 𝑀 · 𝐾 ) ) ) |
14 |
13
|
3com13 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑥 · 𝑀 ) · 𝐾 ) = ( 𝑥 · ( 𝑀 · 𝐾 ) ) ) |
15 |
14
|
3expa |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑥 · 𝑀 ) · 𝐾 ) = ( 𝑥 · ( 𝑀 · 𝐾 ) ) ) |
16 |
15
|
3adantl3 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑥 · 𝑀 ) · 𝐾 ) = ( 𝑥 · ( 𝑀 · 𝐾 ) ) ) |
17 |
|
oveq1 |
⊢ ( ( 𝑥 · 𝑀 ) = 𝑁 → ( ( 𝑥 · 𝑀 ) · 𝐾 ) = ( 𝑁 · 𝐾 ) ) |
18 |
16 17
|
sylan9req |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑥 · 𝑀 ) = 𝑁 ) → ( 𝑥 · ( 𝑀 · 𝐾 ) ) = ( 𝑁 · 𝐾 ) ) |
19 |
18
|
ex |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑥 · 𝑀 ) = 𝑁 → ( 𝑥 · ( 𝑀 · 𝐾 ) ) = ( 𝑁 · 𝐾 ) ) ) |
20 |
1 7 8 19
|
dvds1lem |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝑀 ∥ 𝑁 → ( 𝑀 · 𝐾 ) ∥ ( 𝑁 · 𝐾 ) ) ) |
21 |
20
|
3coml |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( 𝑀 ∥ 𝑁 → ( 𝑀 · 𝐾 ) ∥ ( 𝑁 · 𝐾 ) ) ) |