Theorem eeor

Description: Distribute existential quantifiers. (Contributed by NM, 8-Aug-1994) Avoid ax-10 . (Revised by Gino Giotto, 21-Nov-2024)

	Ref	Expression
Hypotheses	eeor.1	⊢ Ⅎ 𝑦 𝜑
	eeor.2	⊢ Ⅎ 𝑥 𝜓
Assertion	eeor	⊢ ( ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ( 𝜑 ∨ 𝜓 ) ↔ ( ∃ 𝑥 𝜑 ∨ ∃ 𝑦 𝜓 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eeor.1	⊢ Ⅎ 𝑦 𝜑
2		eeor.2	⊢ Ⅎ 𝑥 𝜓
3		19.43	⊢ ( ∃ 𝑦 ( 𝜑 ∨ 𝜓 ) ↔ ( ∃ 𝑦 𝜑 ∨ ∃ 𝑦 𝜓 ) )
4	3	exbii	⊢ ( ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ( 𝜑 ∨ 𝜓 ) ↔ ∃ 𝑥 ( ∃ 𝑦 𝜑 ∨ ∃ 𝑦 𝜓 ) )
5		19.43	⊢ ( ∃ 𝑥 ( ∃ 𝑦 𝜑 ∨ ∃ 𝑦 𝜓 ) ↔ ( ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 𝜑 ∨ ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 𝜓 ) )
6	1	19.9	⊢ ( ∃ 𝑦 𝜑 ↔ 𝜑 )
7	6	exbii	⊢ ( ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 𝜑 ↔ ∃ 𝑥 𝜑 )
8		excom	⊢ ( ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 𝜓 ↔ ∃ 𝑦 ∃ 𝑥 𝜓 )
9	2	19.9	⊢ ( ∃ 𝑥 𝜓 ↔ 𝜓 )
10	9	exbii	⊢ ( ∃ 𝑦 ∃ 𝑥 𝜓 ↔ ∃ 𝑦 𝜓 )
11	8 10	bitri	⊢ ( ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 𝜓 ↔ ∃ 𝑦 𝜓 )
12	7 11	orbi12i	⊢ ( ( ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 𝜑 ∨ ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 𝜓 ) ↔ ( ∃ 𝑥 𝜑 ∨ ∃ 𝑦 𝜓 ) )
13	5 12	bitri	⊢ ( ∃ 𝑥 ( ∃ 𝑦 𝜑 ∨ ∃ 𝑦 𝜓 ) ↔ ( ∃ 𝑥 𝜑 ∨ ∃ 𝑦 𝜓 ) )
14	4 13	bitri	⊢ ( ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ( 𝜑 ∨ 𝜓 ) ↔ ( ∃ 𝑥 𝜑 ∨ ∃ 𝑦 𝜓 ) )