Theorem eeor

Description: Distribute existential quantifiers. (Contributed by NM, 8-Aug-1994) Avoid ax-10 . (Revised by Gino Giotto, 21-Nov-2024)

	Ref	Expression
Hypotheses	eeor.1	|- F/ y ph
	eeor.2	|- F/ x ps
Assertion	eeor	|- ( E. x E. y ( ph \/ ps ) <-> ( E. x ph \/ E. y ps ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eeor.1	|- F/ y ph
2		eeor.2	|- F/ x ps
3		19.43	|- ( E. y ( ph \/ ps ) <-> ( E. y ph \/ E. y ps ) )
4	3	exbii	|- ( E. x E. y ( ph \/ ps ) <-> E. x ( E. y ph \/ E. y ps ) )
5		19.43	|- ( E. x ( E. y ph \/ E. y ps ) <-> ( E. x E. y ph \/ E. x E. y ps ) )
6	1	19.9	|- ( E. y ph <-> ph )
7	6	exbii	|- ( E. x E. y ph <-> E. x ph )
8		excom	|- ( E. x E. y ps <-> E. y E. x ps )
9	2	19.9	|- ( E. x ps <-> ps )
10	9	exbii	|- ( E. y E. x ps <-> E. y ps )
11	8 10	bitri	|- ( E. x E. y ps <-> E. y ps )
12	7 11	orbi12i	|- ( ( E. x E. y ph \/ E. x E. y ps ) <-> ( E. x ph \/ E. y ps ) )
13	5 12	bitri	|- ( E. x ( E. y ph \/ E. y ps ) <-> ( E. x ph \/ E. y ps ) )
14	4 13	bitri	|- ( E. x E. y ( ph \/ ps ) <-> ( E. x ph \/ E. y ps ) )