Theorem efimpi

Description: The exponential function at _i times a real number less _pi . (Contributed by Paul Chapman, 15-Mar-2008)

	Ref	Expression
Assertion	efimpi	⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( exp ‘ ( i · ( 𝐴 − π ) ) ) = - ( exp ‘ ( i · 𝐴 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		picn	⊢ π ∈ ℂ
2		subcl	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ ) → ( 𝐴 − π ) ∈ ℂ )
3	1 2	mpan2	⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( 𝐴 − π ) ∈ ℂ )
4		efival	⊢ ( ( 𝐴 − π ) ∈ ℂ → ( exp ‘ ( i · ( 𝐴 − π ) ) ) = ( ( cos ‘ ( 𝐴 − π ) ) + ( i · ( sin ‘ ( 𝐴 − π ) ) ) ) )
5	3 4	syl	⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( exp ‘ ( i · ( 𝐴 − π ) ) ) = ( ( cos ‘ ( 𝐴 − π ) ) + ( i · ( sin ‘ ( 𝐴 − π ) ) ) ) )
6		coscl	⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( cos ‘ 𝐴 ) ∈ ℂ )
7		ax-icn	⊢ i ∈ ℂ
8		sincl	⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( sin ‘ 𝐴 ) ∈ ℂ )
9		mulcl	⊢ ( ( i ∈ ℂ ∧ ( sin ‘ 𝐴 ) ∈ ℂ ) → ( i · ( sin ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℂ )
10	7 8 9	sylancr	⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( i · ( sin ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℂ )
11	6 10	negdid	⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → - ( ( cos ‘ 𝐴 ) + ( i · ( sin ‘ 𝐴 ) ) ) = ( - ( cos ‘ 𝐴 ) + - ( i · ( sin ‘ 𝐴 ) ) ) )
12		cosmpi	⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( cos ‘ ( 𝐴 − π ) ) = - ( cos ‘ 𝐴 ) )
13		sinmpi	⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( sin ‘ ( 𝐴 − π ) ) = - ( sin ‘ 𝐴 ) )
14	13	oveq2d	⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( i · ( sin ‘ ( 𝐴 − π ) ) ) = ( i · - ( sin ‘ 𝐴 ) ) )
15		mulneg2	⊢ ( ( i ∈ ℂ ∧ ( sin ‘ 𝐴 ) ∈ ℂ ) → ( i · - ( sin ‘ 𝐴 ) ) = - ( i · ( sin ‘ 𝐴 ) ) )
16	7 8 15	sylancr	⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( i · - ( sin ‘ 𝐴 ) ) = - ( i · ( sin ‘ 𝐴 ) ) )
17	14 16	eqtrd	⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( i · ( sin ‘ ( 𝐴 − π ) ) ) = - ( i · ( sin ‘ 𝐴 ) ) )
18	12 17	oveq12d	⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( ( cos ‘ ( 𝐴 − π ) ) + ( i · ( sin ‘ ( 𝐴 − π ) ) ) ) = ( - ( cos ‘ 𝐴 ) + - ( i · ( sin ‘ 𝐴 ) ) ) )
19	11 18	eqtr4d	⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → - ( ( cos ‘ 𝐴 ) + ( i · ( sin ‘ 𝐴 ) ) ) = ( ( cos ‘ ( 𝐴 − π ) ) + ( i · ( sin ‘ ( 𝐴 − π ) ) ) ) )
20	5 19	eqtr4d	⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( exp ‘ ( i · ( 𝐴 − π ) ) ) = - ( ( cos ‘ 𝐴 ) + ( i · ( sin ‘ 𝐴 ) ) ) )
21		efival	⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( exp ‘ ( i · 𝐴 ) ) = ( ( cos ‘ 𝐴 ) + ( i · ( sin ‘ 𝐴 ) ) ) )
22	21	negeqd	⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → - ( exp ‘ ( i · 𝐴 ) ) = - ( ( cos ‘ 𝐴 ) + ( i · ( sin ‘ 𝐴 ) ) ) )
23	20 22	eqtr4d	⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( exp ‘ ( i · ( 𝐴 − π ) ) ) = - ( exp ‘ ( i · 𝐴 ) ) )