Theorem elfzo

Description: Membership in a half-open finite set of integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015)

	Ref	Expression
Assertion	elfzo	⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ..^ 𝑁 ) ↔ ( 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2zm	⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → ( 𝑁 − 1 ) ∈ ℤ )
2		elfz	⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ ( 𝑁 − 1 ) ∈ ℤ ) → ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↔ ( 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ ( 𝑁 − 1 ) ) ) )
3	1 2	syl3an3	⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↔ ( 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ ( 𝑁 − 1 ) ) ) )
4		fzoval	⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → ( 𝑀 ..^ 𝑁 ) = ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) )
5	4	eleq2d	⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ..^ 𝑁 ) ↔ 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) )
6	5	3ad2ant3	⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ..^ 𝑁 ) ↔ 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) )
7		zltlem1	⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 < 𝑁 ↔ 𝐾 ≤ ( 𝑁 − 1 ) ) )
8	7	3adant2	⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 < 𝑁 ↔ 𝐾 ≤ ( 𝑁 − 1 ) ) )
9	8	anbi2d	⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁 ) ↔ ( 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ ( 𝑁 − 1 ) ) ) )
10	3 6 9	3bitr4d	⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ..^ 𝑁 ) ↔ ( 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁 ) ) )