Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
peano2zm |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → ( 𝑁 − 1 ) ∈ ℤ ) |
2 |
|
elfz |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ ( 𝑁 − 1 ) ∈ ℤ ) → ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↔ ( 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) |
3 |
1 2
|
syl3an3 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↔ ( 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) |
4 |
|
fzoval |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → ( 𝑀 ..^ 𝑁 ) = ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) |
5 |
4
|
eleq2d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ..^ 𝑁 ) ↔ 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) |
6 |
5
|
3ad2ant3 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ..^ 𝑁 ) ↔ 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) |
7 |
|
zltlem1 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 < 𝑁 ↔ 𝐾 ≤ ( 𝑁 − 1 ) ) ) |
8 |
7
|
3adant2 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 < 𝑁 ↔ 𝐾 ≤ ( 𝑁 − 1 ) ) ) |
9 |
8
|
anbi2d |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁 ) ↔ ( 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) |
10 |
3 6 9
|
3bitr4d |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ..^ 𝑁 ) ↔ ( 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁 ) ) ) |