Theorem zltlem1

Description: Integer ordering relation. (Contributed by NM, 13-Nov-2004)

	Ref	Expression
Assertion	zltlem1	⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝑀 < 𝑁 ↔ 𝑀 ≤ ( 𝑁 − 1 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2zm	⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → ( 𝑁 − 1 ) ∈ ℤ )
2		zleltp1	⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ ( 𝑁 − 1 ) ∈ ℤ ) → ( 𝑀 ≤ ( 𝑁 − 1 ) ↔ 𝑀 < ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) ) )
3	1 2	sylan2	⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝑀 ≤ ( 𝑁 − 1 ) ↔ 𝑀 < ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) ) )
4		zcn	⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ )
5		ax-1cn	⊢ 1 ∈ ℂ
6		npcan	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ) → ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) = 𝑁 )
7	4 5 6	sylancl	⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) = 𝑁 )
8	7	adantl	⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) = 𝑁 )
9	8	breq2d	⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝑀 < ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) ↔ 𝑀 < 𝑁 ) )
10	3 9	bitr2d	⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝑀 < 𝑁 ↔ 𝑀 ≤ ( 𝑁 − 1 ) ) )