Theorem elfzuzb

Description: Membership in a finite set of sequential integers in terms of sets of upper integers. (Contributed by NM, 18-Sep-2005) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015)

	Ref	Expression
Assertion	elfzuzb	⊢ ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ↔ ( 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝐾 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3an	⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁 ) ) ↔ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ) ∧ ( 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁 ) ) )
2		an6	⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾 ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁 ) ) ↔ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁 ) ) )
3		df-3an	⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) ↔ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) )
4		anandir	⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) ↔ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) ) )
5		an43	⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) ) ↔ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ) )
6	3 4 5	3bitri	⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) ↔ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ) )
7	6	anbi1i	⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁 ) ) ↔ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ) ∧ ( 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁 ) ) )
8	1 2 7	3bitr4ri	⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁 ) ) ↔ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾 ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁 ) ) )
9		elfz2	⊢ ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ↔ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁 ) ) )
10		eluz2	⊢ ( 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ↔ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾 ) )
11		eluz2	⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝐾 ) ↔ ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁 ) )
12	10 11	anbi12i	⊢ ( ( 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝐾 ) ) ↔ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾 ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁 ) ) )
13	8 9 12	3bitr4i	⊢ ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ↔ ( 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝐾 ) ) )