Theorem exanres

Description: Equivalent expressions with existential quantification. (Contributed by Peter Mazsa, 2-May-2021)

	Ref	Expression
Assertion	exanres	⊢ ( ( 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊 ) → ( ∃ 𝑢 ( 𝑢 ( 𝑅 ↾ 𝐴 ) 𝐵 ∧ 𝑢 ( 𝑆 ↾ 𝐴 ) 𝐶 ) ↔ ∃ 𝑢 ∈ 𝐴 ( 𝑢 𝑅 𝐵 ∧ 𝑢 𝑆 𝐶 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brres	⊢ ( 𝐵 ∈ 𝑉 → ( 𝑢 ( 𝑅 ↾ 𝐴 ) 𝐵 ↔ ( 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 𝑅 𝐵 ) ) )
2		brres	⊢ ( 𝐶 ∈ 𝑊 → ( 𝑢 ( 𝑆 ↾ 𝐴 ) 𝐶 ↔ ( 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 𝑆 𝐶 ) ) )
3	1 2	bi2anan9	⊢ ( ( 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊 ) → ( ( 𝑢 ( 𝑅 ↾ 𝐴 ) 𝐵 ∧ 𝑢 ( 𝑆 ↾ 𝐴 ) 𝐶 ) ↔ ( ( 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 𝑅 𝐵 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 𝑆 𝐶 ) ) ) )
4		anandi	⊢ ( ( 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑢 𝑅 𝐵 ∧ 𝑢 𝑆 𝐶 ) ) ↔ ( ( 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 𝑅 𝐵 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 𝑆 𝐶 ) ) )
5	3 4	bitr4di	⊢ ( ( 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊 ) → ( ( 𝑢 ( 𝑅 ↾ 𝐴 ) 𝐵 ∧ 𝑢 ( 𝑆 ↾ 𝐴 ) 𝐶 ) ↔ ( 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑢 𝑅 𝐵 ∧ 𝑢 𝑆 𝐶 ) ) ) )
6	5	exbidv	⊢ ( ( 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊 ) → ( ∃ 𝑢 ( 𝑢 ( 𝑅 ↾ 𝐴 ) 𝐵 ∧ 𝑢 ( 𝑆 ↾ 𝐴 ) 𝐶 ) ↔ ∃ 𝑢 ( 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑢 𝑅 𝐵 ∧ 𝑢 𝑆 𝐶 ) ) ) )
7		df-rex	⊢ ( ∃ 𝑢 ∈ 𝐴 ( 𝑢 𝑅 𝐵 ∧ 𝑢 𝑆 𝐶 ) ↔ ∃ 𝑢 ( 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑢 𝑅 𝐵 ∧ 𝑢 𝑆 𝐶 ) ) )
8	6 7	bitr4di	⊢ ( ( 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊 ) → ( ∃ 𝑢 ( 𝑢 ( 𝑅 ↾ 𝐴 ) 𝐵 ∧ 𝑢 ( 𝑆 ↾ 𝐴 ) 𝐶 ) ↔ ∃ 𝑢 ∈ 𝐴 ( 𝑢 𝑅 𝐵 ∧ 𝑢 𝑆 𝐶 ) ) )