Metamath Proof Explorer


Theorem fisupg

Description: Lemma showing existence and closure of supremum of a finite set. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009)

Ref Expression
Assertion fisupg ( ( 𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ) → ∃ 𝑥𝐴 ( ∀ 𝑦𝐴 ¬ 𝑥 𝑅 𝑦 ∧ ∀ 𝑦𝐴 ( 𝑦 𝑅 𝑥 → ∃ 𝑧𝐴 𝑦 𝑅 𝑧 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 fimaxg ( ( 𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ) → ∃ 𝑥𝐴𝑦𝐴 ( 𝑥𝑦𝑦 𝑅 𝑥 ) )
2 sotrieq2 ( ( 𝑅 Or 𝐴 ∧ ( 𝑥𝐴𝑦𝐴 ) ) → ( 𝑥 = 𝑦 ↔ ( ¬ 𝑥 𝑅 𝑦 ∧ ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ) ) )
3 2 simprbda ( ( ( 𝑅 Or 𝐴 ∧ ( 𝑥𝐴𝑦𝐴 ) ) ∧ 𝑥 = 𝑦 ) → ¬ 𝑥 𝑅 𝑦 )
4 3 ex ( ( 𝑅 Or 𝐴 ∧ ( 𝑥𝐴𝑦𝐴 ) ) → ( 𝑥 = 𝑦 → ¬ 𝑥 𝑅 𝑦 ) )
5 4 anassrs ( ( ( 𝑅 Or 𝐴𝑥𝐴 ) ∧ 𝑦𝐴 ) → ( 𝑥 = 𝑦 → ¬ 𝑥 𝑅 𝑦 ) )
6 5 a1dd ( ( ( 𝑅 Or 𝐴𝑥𝐴 ) ∧ 𝑦𝐴 ) → ( 𝑥 = 𝑦 → ( ( 𝑥𝑦𝑦 𝑅 𝑥 ) → ¬ 𝑥 𝑅 𝑦 ) ) )
7 pm2.27 ( 𝑥𝑦 → ( ( 𝑥𝑦𝑦 𝑅 𝑥 ) → 𝑦 𝑅 𝑥 ) )
8 so2nr ( ( 𝑅 Or 𝐴 ∧ ( 𝑥𝐴𝑦𝐴 ) ) → ¬ ( 𝑥 𝑅 𝑦𝑦 𝑅 𝑥 ) )
9 pm3.21 ( 𝑦 𝑅 𝑥 → ( 𝑥 𝑅 𝑦 → ( 𝑥 𝑅 𝑦𝑦 𝑅 𝑥 ) ) )
10 9 con3d ( 𝑦 𝑅 𝑥 → ( ¬ ( 𝑥 𝑅 𝑦𝑦 𝑅 𝑥 ) → ¬ 𝑥 𝑅 𝑦 ) )
11 8 10 syl5com ( ( 𝑅 Or 𝐴 ∧ ( 𝑥𝐴𝑦𝐴 ) ) → ( 𝑦 𝑅 𝑥 → ¬ 𝑥 𝑅 𝑦 ) )
12 11 anassrs ( ( ( 𝑅 Or 𝐴𝑥𝐴 ) ∧ 𝑦𝐴 ) → ( 𝑦 𝑅 𝑥 → ¬ 𝑥 𝑅 𝑦 ) )
13 7 12 syl9r ( ( ( 𝑅 Or 𝐴𝑥𝐴 ) ∧ 𝑦𝐴 ) → ( 𝑥𝑦 → ( ( 𝑥𝑦𝑦 𝑅 𝑥 ) → ¬ 𝑥 𝑅 𝑦 ) ) )
14 6 13 pm2.61dne ( ( ( 𝑅 Or 𝐴𝑥𝐴 ) ∧ 𝑦𝐴 ) → ( ( 𝑥𝑦𝑦 𝑅 𝑥 ) → ¬ 𝑥 𝑅 𝑦 ) )
15 14 ralimdva ( ( 𝑅 Or 𝐴𝑥𝐴 ) → ( ∀ 𝑦𝐴 ( 𝑥𝑦𝑦 𝑅 𝑥 ) → ∀ 𝑦𝐴 ¬ 𝑥 𝑅 𝑦 ) )
16 breq2 ( 𝑧 = 𝑥 → ( 𝑦 𝑅 𝑧𝑦 𝑅 𝑥 ) )
17 16 rspcev ( ( 𝑥𝐴𝑦 𝑅 𝑥 ) → ∃ 𝑧𝐴 𝑦 𝑅 𝑧 )
18 17 ex ( 𝑥𝐴 → ( 𝑦 𝑅 𝑥 → ∃ 𝑧𝐴 𝑦 𝑅 𝑧 ) )
19 18 ralrimivw ( 𝑥𝐴 → ∀ 𝑦𝐴 ( 𝑦 𝑅 𝑥 → ∃ 𝑧𝐴 𝑦 𝑅 𝑧 ) )
20 19 adantl ( ( 𝑅 Or 𝐴𝑥𝐴 ) → ∀ 𝑦𝐴 ( 𝑦 𝑅 𝑥 → ∃ 𝑧𝐴 𝑦 𝑅 𝑧 ) )
21 15 20 jctird ( ( 𝑅 Or 𝐴𝑥𝐴 ) → ( ∀ 𝑦𝐴 ( 𝑥𝑦𝑦 𝑅 𝑥 ) → ( ∀ 𝑦𝐴 ¬ 𝑥 𝑅 𝑦 ∧ ∀ 𝑦𝐴 ( 𝑦 𝑅 𝑥 → ∃ 𝑧𝐴 𝑦 𝑅 𝑧 ) ) ) )
22 21 reximdva ( 𝑅 Or 𝐴 → ( ∃ 𝑥𝐴𝑦𝐴 ( 𝑥𝑦𝑦 𝑅 𝑥 ) → ∃ 𝑥𝐴 ( ∀ 𝑦𝐴 ¬ 𝑥 𝑅 𝑦 ∧ ∀ 𝑦𝐴 ( 𝑦 𝑅 𝑥 → ∃ 𝑧𝐴 𝑦 𝑅 𝑧 ) ) ) )
23 22 3ad2ant1 ( ( 𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ) → ( ∃ 𝑥𝐴𝑦𝐴 ( 𝑥𝑦𝑦 𝑅 𝑥 ) → ∃ 𝑥𝐴 ( ∀ 𝑦𝐴 ¬ 𝑥 𝑅 𝑦 ∧ ∀ 𝑦𝐴 ( 𝑦 𝑅 𝑥 → ∃ 𝑧𝐴 𝑦 𝑅 𝑧 ) ) ) )
24 1 23 mpd ( ( 𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ) → ∃ 𝑥𝐴 ( ∀ 𝑦𝐴 ¬ 𝑥 𝑅 𝑦 ∧ ∀ 𝑦𝐴 ( 𝑦 𝑅 𝑥 → ∃ 𝑧𝐴 𝑦 𝑅 𝑧 ) ) )