Theorem fzdif2

Description: Split the last element of a finite set of sequential integers. More generic than fzsuc . (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Aug-2020)

	Ref	Expression
Assertion	fzdif2	⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) → ( ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑁 } ) = ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzspl	⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) → ( 𝑀 ... 𝑁 ) = ( ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∪ { 𝑁 } ) )
2	1	difeq1d	⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) → ( ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑁 } ) = ( ( ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∪ { 𝑁 } ) ∖ { 𝑁 } ) )
3		difun2	⊢ ( ( ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∪ { 𝑁 } ) ∖ { 𝑁 } ) = ( ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∖ { 𝑁 } )
4	2 3	eqtrdi	⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) → ( ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑁 } ) = ( ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∖ { 𝑁 } ) )
5		eluzelz	⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) → 𝑁 ∈ ℤ )
6		uzid	⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑁 ) )
7		uznfz	⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑁 ) → ¬ 𝑁 ∈ ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) )
8	5 6 7	3syl	⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) → ¬ 𝑁 ∈ ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) )
9		disjsn	⊢ ( ( ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∩ { 𝑁 } ) = ∅ ↔ ¬ 𝑁 ∈ ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) )
10	8 9	sylibr	⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) → ( ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∩ { 𝑁 } ) = ∅ )
11		disjdif2	⊢ ( ( ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∩ { 𝑁 } ) = ∅ → ( ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∖ { 𝑁 } ) = ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) )
12	10 11	syl	⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) → ( ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∖ { 𝑁 } ) = ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) )
13	4 12	eqtrd	⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) → ( ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑁 } ) = ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) )