Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
elfzoel2 |
⊢ ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ..^ 𝑁 ) → 𝑁 ∈ ℤ ) |
2 |
|
fzoval |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → ( 𝑀 ..^ 𝑁 ) = ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) |
3 |
1 2
|
syl |
⊢ ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ..^ 𝑁 ) → ( 𝑀 ..^ 𝑁 ) = ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) |
4 |
3
|
eleq2d |
⊢ ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ..^ 𝑁 ) → ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ..^ 𝑁 ) ↔ 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) |
5 |
4
|
ibi |
⊢ ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ..^ 𝑁 ) → 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) |
6 |
|
elfzuz3 |
⊢ ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) → ( 𝑁 − 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝐾 ) ) |
7 |
|
fzss2 |
⊢ ( ( 𝑁 − 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝐾 ) → ( 𝑀 ... 𝐾 ) ⊆ ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) |
8 |
5 6 7
|
3syl |
⊢ ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ..^ 𝑁 ) → ( 𝑀 ... 𝐾 ) ⊆ ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) |
9 |
8 3
|
sseqtrrd |
⊢ ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ..^ 𝑁 ) → ( 𝑀 ... 𝐾 ) ⊆ ( 𝑀 ..^ 𝑁 ) ) |