Theorem fzssfzo

Description: Condition for an integer interval to be a subset of a half-open integer interval. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Oct-2018)

	Ref	Expression
Assertion	fzssfzo	⊢ ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ..^ 𝑁 ) → ( 𝑀 ... 𝐾 ) ⊆ ( 𝑀 ..^ 𝑁 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoel2	⊢ ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ..^ 𝑁 ) → 𝑁 ∈ ℤ )
2		fzoval	⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → ( 𝑀 ..^ 𝑁 ) = ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) )
3	1 2	syl	⊢ ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ..^ 𝑁 ) → ( 𝑀 ..^ 𝑁 ) = ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) )
4	3	eleq2d	⊢ ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ..^ 𝑁 ) → ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ..^ 𝑁 ) ↔ 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) )
5	4	ibi	⊢ ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ..^ 𝑁 ) → 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) )
6		elfzuz3	⊢ ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) → ( 𝑁 − 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝐾 ) )
7		fzss2	⊢ ( ( 𝑁 − 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝐾 ) → ( 𝑀 ... 𝐾 ) ⊆ ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) )
8	5 6 7	3syl	⊢ ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ..^ 𝑁 ) → ( 𝑀 ... 𝐾 ) ⊆ ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) )
9	8 3	sseqtrrd	⊢ ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ..^ 𝑁 ) → ( 𝑀 ... 𝐾 ) ⊆ ( 𝑀 ..^ 𝑁 ) )