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Theorem iccshftr

Description: Membership in a shifted interval. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009)

Ref Expression
Hypotheses iccshftr.1 ( 𝐴 + 𝑅 ) = 𝐶
iccshftr.2 ( 𝐵 + 𝑅 ) = 𝐷
Assertion iccshftr ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) ) → ( 𝑋 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↔ ( 𝑋 + 𝑅 ) ∈ ( 𝐶 [,] 𝐷 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 iccshftr.1 ( 𝐴 + 𝑅 ) = 𝐶
2 iccshftr.2 ( 𝐵 + 𝑅 ) = 𝐷
3 simpl ( ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) → 𝑋 ∈ ℝ )
4 readdcl ( ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) → ( 𝑋 + 𝑅 ) ∈ ℝ )
5 3 4 2thd ( ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) → ( 𝑋 ∈ ℝ ↔ ( 𝑋 + 𝑅 ) ∈ ℝ ) )
6 5 adantl ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) ) → ( 𝑋 ∈ ℝ ↔ ( 𝑋 + 𝑅 ) ∈ ℝ ) )
7 leadd1 ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) → ( 𝐴𝑋 ↔ ( 𝐴 + 𝑅 ) ≤ ( 𝑋 + 𝑅 ) ) )
8 7 3expb ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) ) → ( 𝐴𝑋 ↔ ( 𝐴 + 𝑅 ) ≤ ( 𝑋 + 𝑅 ) ) )
9 8 adantlr ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) ) → ( 𝐴𝑋 ↔ ( 𝐴 + 𝑅 ) ≤ ( 𝑋 + 𝑅 ) ) )
10 1 breq1i ( ( 𝐴 + 𝑅 ) ≤ ( 𝑋 + 𝑅 ) ↔ 𝐶 ≤ ( 𝑋 + 𝑅 ) )
11 9 10 bitrdi ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) ) → ( 𝐴𝑋𝐶 ≤ ( 𝑋 + 𝑅 ) ) )
12 leadd1 ( ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) → ( 𝑋𝐵 ↔ ( 𝑋 + 𝑅 ) ≤ ( 𝐵 + 𝑅 ) ) )
13 12 3expb ( ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) ) → ( 𝑋𝐵 ↔ ( 𝑋 + 𝑅 ) ≤ ( 𝐵 + 𝑅 ) ) )
14 13 an12s ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) ) → ( 𝑋𝐵 ↔ ( 𝑋 + 𝑅 ) ≤ ( 𝐵 + 𝑅 ) ) )
15 14 adantll ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) ) → ( 𝑋𝐵 ↔ ( 𝑋 + 𝑅 ) ≤ ( 𝐵 + 𝑅 ) ) )
16 2 breq2i ( ( 𝑋 + 𝑅 ) ≤ ( 𝐵 + 𝑅 ) ↔ ( 𝑋 + 𝑅 ) ≤ 𝐷 )
17 15 16 bitrdi ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) ) → ( 𝑋𝐵 ↔ ( 𝑋 + 𝑅 ) ≤ 𝐷 ) )
18 6 11 17 3anbi123d ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) ) → ( ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑋𝑋𝐵 ) ↔ ( ( 𝑋 + 𝑅 ) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑋 + 𝑅 ) ∧ ( 𝑋 + 𝑅 ) ≤ 𝐷 ) ) )
19 elicc2 ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → ( 𝑋 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↔ ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑋𝑋𝐵 ) ) )
20 19 adantr ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) ) → ( 𝑋 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↔ ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑋𝑋𝐵 ) ) )
21 readdcl ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 + 𝑅 ) ∈ ℝ )
22 1 21 eqeltrrid ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) → 𝐶 ∈ ℝ )
23 readdcl ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) → ( 𝐵 + 𝑅 ) ∈ ℝ )
24 2 23 eqeltrrid ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) → 𝐷 ∈ ℝ )
25 elicc2 ( ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑋 + 𝑅 ) ∈ ( 𝐶 [,] 𝐷 ) ↔ ( ( 𝑋 + 𝑅 ) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑋 + 𝑅 ) ∧ ( 𝑋 + 𝑅 ) ≤ 𝐷 ) ) )
26 22 24 25 syl2an ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) ) → ( ( 𝑋 + 𝑅 ) ∈ ( 𝐶 [,] 𝐷 ) ↔ ( ( 𝑋 + 𝑅 ) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑋 + 𝑅 ) ∧ ( 𝑋 + 𝑅 ) ≤ 𝐷 ) ) )
27 26 anandirs ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑋 + 𝑅 ) ∈ ( 𝐶 [,] 𝐷 ) ↔ ( ( 𝑋 + 𝑅 ) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑋 + 𝑅 ) ∧ ( 𝑋 + 𝑅 ) ≤ 𝐷 ) ) )
28 27 adantrl ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) ) → ( ( 𝑋 + 𝑅 ) ∈ ( 𝐶 [,] 𝐷 ) ↔ ( ( 𝑋 + 𝑅 ) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑋 + 𝑅 ) ∧ ( 𝑋 + 𝑅 ) ≤ 𝐷 ) ) )
29 18 20 28 3bitr4d ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) ) → ( 𝑋 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↔ ( 𝑋 + 𝑅 ) ∈ ( 𝐶 [,] 𝐷 ) ) )