Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
ax-5 |
⊢ ( 𝐵 ∈ 𝑉 → ∀ 𝑦 𝐵 ∈ 𝑉 ) |
2 |
|
r19.12sn |
⊢ ( 𝐵 ∈ 𝑉 → ( ∃ 𝑏 ∈ { 𝐵 } ∀ 𝑎 ∈ 𝐴 〈 𝑏 , 𝑦 〉 ∈ 𝑎 ↔ ∀ 𝑎 ∈ 𝐴 ∃ 𝑏 ∈ { 𝐵 } 〈 𝑏 , 𝑦 〉 ∈ 𝑎 ) ) |
3 |
2
|
biimprd |
⊢ ( 𝐵 ∈ 𝑉 → ( ∀ 𝑎 ∈ 𝐴 ∃ 𝑏 ∈ { 𝐵 } 〈 𝑏 , 𝑦 〉 ∈ 𝑎 → ∃ 𝑏 ∈ { 𝐵 } ∀ 𝑎 ∈ 𝐴 〈 𝑏 , 𝑦 〉 ∈ 𝑎 ) ) |
4 |
3
|
alimi |
⊢ ( ∀ 𝑦 𝐵 ∈ 𝑉 → ∀ 𝑦 ( ∀ 𝑎 ∈ 𝐴 ∃ 𝑏 ∈ { 𝐵 } 〈 𝑏 , 𝑦 〉 ∈ 𝑎 → ∃ 𝑏 ∈ { 𝐵 } ∀ 𝑎 ∈ 𝐴 〈 𝑏 , 𝑦 〉 ∈ 𝑎 ) ) |
5 |
|
intimag |
⊢ ( ∀ 𝑦 ( ∀ 𝑎 ∈ 𝐴 ∃ 𝑏 ∈ { 𝐵 } 〈 𝑏 , 𝑦 〉 ∈ 𝑎 → ∃ 𝑏 ∈ { 𝐵 } ∀ 𝑎 ∈ 𝐴 〈 𝑏 , 𝑦 〉 ∈ 𝑎 ) → ( ∩ 𝐴 “ { 𝐵 } ) = ∩ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = ( 𝑎 “ { 𝐵 } ) } ) |
6 |
1 4 5
|
3syl |
⊢ ( 𝐵 ∈ 𝑉 → ( ∩ 𝐴 “ { 𝐵 } ) = ∩ { 𝑥 ∣ ∃ 𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = ( 𝑎 “ { 𝐵 } ) } ) |