Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
ioorf.1 |
⊢ 𝐹 = ( 𝑥 ∈ ran (,) ↦ if ( 𝑥 = ∅ , 〈 0 , 0 〉 , 〈 inf ( 𝑥 , ℝ* , < ) , sup ( 𝑥 , ℝ* , < ) 〉 ) ) |
2 |
|
ioorebas |
⊢ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ∈ ran (,) |
3 |
1
|
ioorval |
⊢ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ∈ ran (,) → ( 𝐹 ‘ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) = if ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) = ∅ , 〈 0 , 0 〉 , 〈 inf ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) , ℝ* , < ) , sup ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) , ℝ* , < ) 〉 ) ) |
4 |
2 3
|
ax-mp |
⊢ ( 𝐹 ‘ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) = if ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) = ∅ , 〈 0 , 0 〉 , 〈 inf ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) , ℝ* , < ) , sup ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) , ℝ* , < ) 〉 ) |
5 |
|
ifnefalse |
⊢ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ≠ ∅ → if ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) = ∅ , 〈 0 , 0 〉 , 〈 inf ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) , ℝ* , < ) , sup ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) , ℝ* , < ) 〉 ) = 〈 inf ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) , ℝ* , < ) , sup ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) , ℝ* , < ) 〉 ) |
6 |
|
n0 |
⊢ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ≠ ∅ ↔ ∃ 𝑥 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) |
7 |
|
eliooxr |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) → ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ) ) |
8 |
7
|
exlimiv |
⊢ ( ∃ 𝑥 𝑥 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) → ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ) ) |
9 |
6 8
|
sylbi |
⊢ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ≠ ∅ → ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ) ) |
10 |
9
|
simpld |
⊢ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ≠ ∅ → 𝐴 ∈ ℝ* ) |
11 |
9
|
simprd |
⊢ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ≠ ∅ → 𝐵 ∈ ℝ* ) |
12 |
|
id |
⊢ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ≠ ∅ → ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ≠ ∅ ) |
13 |
|
df-ioo |
⊢ (,) = ( 𝑥 ∈ ℝ* , 𝑦 ∈ ℝ* ↦ { 𝑧 ∈ ℝ* ∣ ( 𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦 ) } ) |
14 |
|
idd |
⊢ ( ( 𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ) → ( 𝑤 < 𝐵 → 𝑤 < 𝐵 ) ) |
15 |
|
xrltle |
⊢ ( ( 𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ) → ( 𝑤 < 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝐵 ) ) |
16 |
|
idd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ* ) → ( 𝐴 < 𝑤 → 𝐴 < 𝑤 ) ) |
17 |
|
xrltle |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ* ) → ( 𝐴 < 𝑤 → 𝐴 ≤ 𝑤 ) ) |
18 |
13 14 15 16 17
|
ixxlb |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ≠ ∅ ) → inf ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) , ℝ* , < ) = 𝐴 ) |
19 |
10 11 12 18
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ≠ ∅ → inf ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) , ℝ* , < ) = 𝐴 ) |
20 |
13 14 15 16 17
|
ixxub |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ≠ ∅ ) → sup ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) , ℝ* , < ) = 𝐵 ) |
21 |
10 11 12 20
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ≠ ∅ → sup ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) , ℝ* , < ) = 𝐵 ) |
22 |
19 21
|
opeq12d |
⊢ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ≠ ∅ → 〈 inf ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) , ℝ* , < ) , sup ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) , ℝ* , < ) 〉 = 〈 𝐴 , 𝐵 〉 ) |
23 |
5 22
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ≠ ∅ → if ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) = ∅ , 〈 0 , 0 〉 , 〈 inf ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) , ℝ* , < ) , sup ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) , ℝ* , < ) 〉 ) = 〈 𝐴 , 𝐵 〉 ) |
24 |
4 23
|
eqtrid |
⊢ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ≠ ∅ → ( 𝐹 ‘ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) = 〈 𝐴 , 𝐵 〉 ) |