Theorem ismon2

Description: Write out the monomorphism property directly. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017)

	Ref	Expression
Hypotheses	ismon.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐶 )
	ismon.h	⊢ 𝐻 = ( Hom ‘ 𝐶 )
	ismon.o	⊢ · = ( comp ‘ 𝐶 )
	ismon.s	⊢ 𝑀 = ( Mono ‘ 𝐶 )
	ismon.c	⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ Cat )
	ismon.x	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵 )
	ismon.y	⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵 )
Assertion	ismon2	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 ∈ ( 𝑋 𝑀 𝑌 ) ↔ ( 𝐹 ∈ ( 𝑋 𝐻 𝑌 ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑧 𝐻 𝑋 ) ∀ ℎ ∈ ( 𝑧 𝐻 𝑋 ) ( ( 𝐹 ( ⟨ 𝑧 , 𝑋 ⟩ · 𝑌 ) 𝑔 ) = ( 𝐹 ( ⟨ 𝑧 , 𝑋 ⟩ · 𝑌 ) ℎ ) → 𝑔 = ℎ ) ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismon.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐶 )
2		ismon.h	⊢ 𝐻 = ( Hom ‘ 𝐶 )
3		ismon.o	⊢ · = ( comp ‘ 𝐶 )
4		ismon.s	⊢ 𝑀 = ( Mono ‘ 𝐶 )
5		ismon.c	⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ Cat )
6		ismon.x	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵 )
7		ismon.y	⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵 )
8	1 2 3 4 5 6 7	ismon	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 ∈ ( 𝑋 𝑀 𝑌 ) ↔ ( 𝐹 ∈ ( 𝑋 𝐻 𝑌 ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 Fun ◡ ( 𝑔 ∈ ( 𝑧 𝐻 𝑋 ) ↦ ( 𝐹 ( ⟨ 𝑧 , 𝑋 ⟩ · 𝑌 ) 𝑔 ) ) ) ) )
9	5	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝐹 ∈ ( 𝑋 𝐻 𝑌 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ ( 𝑧 𝐻 𝑋 ) ) ) → 𝐶 ∈ Cat )
10		simprl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝐹 ∈ ( 𝑋 𝐻 𝑌 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ ( 𝑧 𝐻 𝑋 ) ) ) → 𝑧 ∈ 𝐵 )
11	6	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝐹 ∈ ( 𝑋 𝐻 𝑌 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ ( 𝑧 𝐻 𝑋 ) ) ) → 𝑋 ∈ 𝐵 )
12	7	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝐹 ∈ ( 𝑋 𝐻 𝑌 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ ( 𝑧 𝐻 𝑋 ) ) ) → 𝑌 ∈ 𝐵 )
13		simprr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝐹 ∈ ( 𝑋 𝐻 𝑌 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ ( 𝑧 𝐻 𝑋 ) ) ) → 𝑔 ∈ ( 𝑧 𝐻 𝑋 ) )
14		simplr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝐹 ∈ ( 𝑋 𝐻 𝑌 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ ( 𝑧 𝐻 𝑋 ) ) ) → 𝐹 ∈ ( 𝑋 𝐻 𝑌 ) )
15	1 2 3 9 10 11 12 13 14	catcocl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝐹 ∈ ( 𝑋 𝐻 𝑌 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ ( 𝑧 𝐻 𝑋 ) ) ) → ( 𝐹 ( ⟨ 𝑧 , 𝑋 ⟩ · 𝑌 ) 𝑔 ) ∈ ( 𝑧 𝐻 𝑌 ) )
16	15	anassrs	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝐹 ∈ ( 𝑋 𝐻 𝑌 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑔 ∈ ( 𝑧 𝐻 𝑋 ) ) → ( 𝐹 ( ⟨ 𝑧 , 𝑋 ⟩ · 𝑌 ) 𝑔 ) ∈ ( 𝑧 𝐻 𝑌 ) )
17	16	ralrimiva	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝐹 ∈ ( 𝑋 𝐻 𝑌 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) → ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑧 𝐻 𝑋 ) ( 𝐹 ( ⟨ 𝑧 , 𝑋 ⟩ · 𝑌 ) 𝑔 ) ∈ ( 𝑧 𝐻 𝑌 ) )
18		eqid	⊢ ( 𝑔 ∈ ( 𝑧 𝐻 𝑋 ) ↦ ( 𝐹 ( ⟨ 𝑧 , 𝑋 ⟩ · 𝑌 ) 𝑔 ) ) = ( 𝑔 ∈ ( 𝑧 𝐻 𝑋 ) ↦ ( 𝐹 ( ⟨ 𝑧 , 𝑋 ⟩ · 𝑌 ) 𝑔 ) )
19	18	fmpt	⊢ ( ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑧 𝐻 𝑋 ) ( 𝐹 ( ⟨ 𝑧 , 𝑋 ⟩ · 𝑌 ) 𝑔 ) ∈ ( 𝑧 𝐻 𝑌 ) ↔ ( 𝑔 ∈ ( 𝑧 𝐻 𝑋 ) ↦ ( 𝐹 ( ⟨ 𝑧 , 𝑋 ⟩ · 𝑌 ) 𝑔 ) ) : ( 𝑧 𝐻 𝑋 ) ⟶ ( 𝑧 𝐻 𝑌 ) )
20		df-f1	⊢ ( ( 𝑔 ∈ ( 𝑧 𝐻 𝑋 ) ↦ ( 𝐹 ( ⟨ 𝑧 , 𝑋 ⟩ · 𝑌 ) 𝑔 ) ) : ( 𝑧 𝐻 𝑋 ) –1-1→ ( 𝑧 𝐻 𝑌 ) ↔ ( ( 𝑔 ∈ ( 𝑧 𝐻 𝑋 ) ↦ ( 𝐹 ( ⟨ 𝑧 , 𝑋 ⟩ · 𝑌 ) 𝑔 ) ) : ( 𝑧 𝐻 𝑋 ) ⟶ ( 𝑧 𝐻 𝑌 ) ∧ Fun ◡ ( 𝑔 ∈ ( 𝑧 𝐻 𝑋 ) ↦ ( 𝐹 ( ⟨ 𝑧 , 𝑋 ⟩ · 𝑌 ) 𝑔 ) ) ) )
21	20	baib	⊢ ( ( 𝑔 ∈ ( 𝑧 𝐻 𝑋 ) ↦ ( 𝐹 ( ⟨ 𝑧 , 𝑋 ⟩ · 𝑌 ) 𝑔 ) ) : ( 𝑧 𝐻 𝑋 ) ⟶ ( 𝑧 𝐻 𝑌 ) → ( ( 𝑔 ∈ ( 𝑧 𝐻 𝑋 ) ↦ ( 𝐹 ( ⟨ 𝑧 , 𝑋 ⟩ · 𝑌 ) 𝑔 ) ) : ( 𝑧 𝐻 𝑋 ) –1-1→ ( 𝑧 𝐻 𝑌 ) ↔ Fun ◡ ( 𝑔 ∈ ( 𝑧 𝐻 𝑋 ) ↦ ( 𝐹 ( ⟨ 𝑧 , 𝑋 ⟩ · 𝑌 ) 𝑔 ) ) ) )
22	19 21	sylbi	⊢ ( ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑧 𝐻 𝑋 ) ( 𝐹 ( ⟨ 𝑧 , 𝑋 ⟩ · 𝑌 ) 𝑔 ) ∈ ( 𝑧 𝐻 𝑌 ) → ( ( 𝑔 ∈ ( 𝑧 𝐻 𝑋 ) ↦ ( 𝐹 ( ⟨ 𝑧 , 𝑋 ⟩ · 𝑌 ) 𝑔 ) ) : ( 𝑧 𝐻 𝑋 ) –1-1→ ( 𝑧 𝐻 𝑌 ) ↔ Fun ◡ ( 𝑔 ∈ ( 𝑧 𝐻 𝑋 ) ↦ ( 𝐹 ( ⟨ 𝑧 , 𝑋 ⟩ · 𝑌 ) 𝑔 ) ) ) )
23		oveq2	⊢ ( 𝑔 = ℎ → ( 𝐹 ( ⟨ 𝑧 , 𝑋 ⟩ · 𝑌 ) 𝑔 ) = ( 𝐹 ( ⟨ 𝑧 , 𝑋 ⟩ · 𝑌 ) ℎ ) )
24	18 23	f1mpt	⊢ ( ( 𝑔 ∈ ( 𝑧 𝐻 𝑋 ) ↦ ( 𝐹 ( ⟨ 𝑧 , 𝑋 ⟩ · 𝑌 ) 𝑔 ) ) : ( 𝑧 𝐻 𝑋 ) –1-1→ ( 𝑧 𝐻 𝑌 ) ↔ ( ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑧 𝐻 𝑋 ) ( 𝐹 ( ⟨ 𝑧 , 𝑋 ⟩ · 𝑌 ) 𝑔 ) ∈ ( 𝑧 𝐻 𝑌 ) ∧ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑧 𝐻 𝑋 ) ∀ ℎ ∈ ( 𝑧 𝐻 𝑋 ) ( ( 𝐹 ( ⟨ 𝑧 , 𝑋 ⟩ · 𝑌 ) 𝑔 ) = ( 𝐹 ( ⟨ 𝑧 , 𝑋 ⟩ · 𝑌 ) ℎ ) → 𝑔 = ℎ ) ) )
25	24	baib	⊢ ( ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑧 𝐻 𝑋 ) ( 𝐹 ( ⟨ 𝑧 , 𝑋 ⟩ · 𝑌 ) 𝑔 ) ∈ ( 𝑧 𝐻 𝑌 ) → ( ( 𝑔 ∈ ( 𝑧 𝐻 𝑋 ) ↦ ( 𝐹 ( ⟨ 𝑧 , 𝑋 ⟩ · 𝑌 ) 𝑔 ) ) : ( 𝑧 𝐻 𝑋 ) –1-1→ ( 𝑧 𝐻 𝑌 ) ↔ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑧 𝐻 𝑋 ) ∀ ℎ ∈ ( 𝑧 𝐻 𝑋 ) ( ( 𝐹 ( ⟨ 𝑧 , 𝑋 ⟩ · 𝑌 ) 𝑔 ) = ( 𝐹 ( ⟨ 𝑧 , 𝑋 ⟩ · 𝑌 ) ℎ ) → 𝑔 = ℎ ) ) )
26	22 25	bitr3d	⊢ ( ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑧 𝐻 𝑋 ) ( 𝐹 ( ⟨ 𝑧 , 𝑋 ⟩ · 𝑌 ) 𝑔 ) ∈ ( 𝑧 𝐻 𝑌 ) → ( Fun ◡ ( 𝑔 ∈ ( 𝑧 𝐻 𝑋 ) ↦ ( 𝐹 ( ⟨ 𝑧 , 𝑋 ⟩ · 𝑌 ) 𝑔 ) ) ↔ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑧 𝐻 𝑋 ) ∀ ℎ ∈ ( 𝑧 𝐻 𝑋 ) ( ( 𝐹 ( ⟨ 𝑧 , 𝑋 ⟩ · 𝑌 ) 𝑔 ) = ( 𝐹 ( ⟨ 𝑧 , 𝑋 ⟩ · 𝑌 ) ℎ ) → 𝑔 = ℎ ) ) )
27	17 26	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝐹 ∈ ( 𝑋 𝐻 𝑌 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) → ( Fun ◡ ( 𝑔 ∈ ( 𝑧 𝐻 𝑋 ) ↦ ( 𝐹 ( ⟨ 𝑧 , 𝑋 ⟩ · 𝑌 ) 𝑔 ) ) ↔ ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑧 𝐻 𝑋 ) ∀ ℎ ∈ ( 𝑧 𝐻 𝑋 ) ( ( 𝐹 ( ⟨ 𝑧 , 𝑋 ⟩ · 𝑌 ) 𝑔 ) = ( 𝐹 ( ⟨ 𝑧 , 𝑋 ⟩ · 𝑌 ) ℎ ) → 𝑔 = ℎ ) ) )
28	27	ralbidva	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐹 ∈ ( 𝑋 𝐻 𝑌 ) ) → ( ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 Fun ◡ ( 𝑔 ∈ ( 𝑧 𝐻 𝑋 ) ↦ ( 𝐹 ( ⟨ 𝑧 , 𝑋 ⟩ · 𝑌 ) 𝑔 ) ) ↔ ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑧 𝐻 𝑋 ) ∀ ℎ ∈ ( 𝑧 𝐻 𝑋 ) ( ( 𝐹 ( ⟨ 𝑧 , 𝑋 ⟩ · 𝑌 ) 𝑔 ) = ( 𝐹 ( ⟨ 𝑧 , 𝑋 ⟩ · 𝑌 ) ℎ ) → 𝑔 = ℎ ) ) )
29	28	pm5.32da	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐹 ∈ ( 𝑋 𝐻 𝑌 ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 Fun ◡ ( 𝑔 ∈ ( 𝑧 𝐻 𝑋 ) ↦ ( 𝐹 ( ⟨ 𝑧 , 𝑋 ⟩ · 𝑌 ) 𝑔 ) ) ) ↔ ( 𝐹 ∈ ( 𝑋 𝐻 𝑌 ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑧 𝐻 𝑋 ) ∀ ℎ ∈ ( 𝑧 𝐻 𝑋 ) ( ( 𝐹 ( ⟨ 𝑧 , 𝑋 ⟩ · 𝑌 ) 𝑔 ) = ( 𝐹 ( ⟨ 𝑧 , 𝑋 ⟩ · 𝑌 ) ℎ ) → 𝑔 = ℎ ) ) ) )
30	8 29	bitrd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 ∈ ( 𝑋 𝑀 𝑌 ) ↔ ( 𝐹 ∈ ( 𝑋 𝐻 𝑌 ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ∀ 𝑔 ∈ ( 𝑧 𝐻 𝑋 ) ∀ ℎ ∈ ( 𝑧 𝐻 𝑋 ) ( ( 𝐹 ( ⟨ 𝑧 , 𝑋 ⟩ · 𝑌 ) 𝑔 ) = ( 𝐹 ( ⟨ 𝑧 , 𝑋 ⟩ · 𝑌 ) ℎ ) → 𝑔 = ℎ ) ) ) )