Metamath Proof Explorer


Theorem itgeq12dv

Description: Equality theorem for an integral. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Feb-2017)

Ref Expression
Hypotheses itgeq12dv.2 โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ๐ด = ๐ต )
itgeq12dv.1 โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ) โ†’ ๐ถ = ๐ท )
Assertion itgeq12dv ( ๐œ‘ โ†’ โˆซ ๐ด ๐ถ d ๐‘ฅ = โˆซ ๐ต ๐ท d ๐‘ฅ )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 itgeq12dv.2 โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ๐ด = ๐ต )
2 itgeq12dv.1 โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ) โ†’ ๐ถ = ๐ท )
3 2 fvoveq1d โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ) โ†’ ( โ„œ โ€˜ ( ๐ถ / ( i โ†‘ ๐‘˜ ) ) ) = ( โ„œ โ€˜ ( ๐ท / ( i โ†‘ ๐‘˜ ) ) ) )
4 3 breq2d โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ) โ†’ ( 0 โ‰ค ( โ„œ โ€˜ ( ๐ถ / ( i โ†‘ ๐‘˜ ) ) ) โ†” 0 โ‰ค ( โ„œ โ€˜ ( ๐ท / ( i โ†‘ ๐‘˜ ) ) ) ) )
5 4 pm5.32da โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค ( โ„œ โ€˜ ( ๐ถ / ( i โ†‘ ๐‘˜ ) ) ) ) โ†” ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค ( โ„œ โ€˜ ( ๐ท / ( i โ†‘ ๐‘˜ ) ) ) ) ) )
6 1 eleq2d โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†” ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ) )
7 6 anbi1d โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค ( โ„œ โ€˜ ( ๐ท / ( i โ†‘ ๐‘˜ ) ) ) ) โ†” ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค ( โ„œ โ€˜ ( ๐ท / ( i โ†‘ ๐‘˜ ) ) ) ) ) )
8 5 7 bitrd โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค ( โ„œ โ€˜ ( ๐ถ / ( i โ†‘ ๐‘˜ ) ) ) ) โ†” ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค ( โ„œ โ€˜ ( ๐ท / ( i โ†‘ ๐‘˜ ) ) ) ) ) )
9 3 adantrr โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค ( โ„œ โ€˜ ( ๐ถ / ( i โ†‘ ๐‘˜ ) ) ) ) ) โ†’ ( โ„œ โ€˜ ( ๐ถ / ( i โ†‘ ๐‘˜ ) ) ) = ( โ„œ โ€˜ ( ๐ท / ( i โ†‘ ๐‘˜ ) ) ) )
10 eqidd โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ยฌ ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค ( โ„œ โ€˜ ( ๐ถ / ( i โ†‘ ๐‘˜ ) ) ) ) ) โ†’ 0 = 0 )
11 8 9 10 ifbieq12d2 โŠข ( ๐œ‘ โ†’ if ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค ( โ„œ โ€˜ ( ๐ถ / ( i โ†‘ ๐‘˜ ) ) ) ) , ( โ„œ โ€˜ ( ๐ถ / ( i โ†‘ ๐‘˜ ) ) ) , 0 ) = if ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค ( โ„œ โ€˜ ( ๐ท / ( i โ†‘ ๐‘˜ ) ) ) ) , ( โ„œ โ€˜ ( ๐ท / ( i โ†‘ ๐‘˜ ) ) ) , 0 ) )
12 11 mpteq2dv โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค ( โ„œ โ€˜ ( ๐ถ / ( i โ†‘ ๐‘˜ ) ) ) ) , ( โ„œ โ€˜ ( ๐ถ / ( i โ†‘ ๐‘˜ ) ) ) , 0 ) ) = ( ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค ( โ„œ โ€˜ ( ๐ท / ( i โ†‘ ๐‘˜ ) ) ) ) , ( โ„œ โ€˜ ( ๐ท / ( i โ†‘ ๐‘˜ ) ) ) , 0 ) ) )
13 12 fveq2d โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( โˆซ2 โ€˜ ( ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค ( โ„œ โ€˜ ( ๐ถ / ( i โ†‘ ๐‘˜ ) ) ) ) , ( โ„œ โ€˜ ( ๐ถ / ( i โ†‘ ๐‘˜ ) ) ) , 0 ) ) ) = ( โˆซ2 โ€˜ ( ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค ( โ„œ โ€˜ ( ๐ท / ( i โ†‘ ๐‘˜ ) ) ) ) , ( โ„œ โ€˜ ( ๐ท / ( i โ†‘ ๐‘˜ ) ) ) , 0 ) ) ) )
14 13 oveq2d โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ( i โ†‘ ๐‘˜ ) ยท ( โˆซ2 โ€˜ ( ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค ( โ„œ โ€˜ ( ๐ถ / ( i โ†‘ ๐‘˜ ) ) ) ) , ( โ„œ โ€˜ ( ๐ถ / ( i โ†‘ ๐‘˜ ) ) ) , 0 ) ) ) ) = ( ( i โ†‘ ๐‘˜ ) ยท ( โˆซ2 โ€˜ ( ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค ( โ„œ โ€˜ ( ๐ท / ( i โ†‘ ๐‘˜ ) ) ) ) , ( โ„œ โ€˜ ( ๐ท / ( i โ†‘ ๐‘˜ ) ) ) , 0 ) ) ) ) )
15 14 sumeq2sdv โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ฮฃ ๐‘˜ โˆˆ ( 0 ... 3 ) ( ( i โ†‘ ๐‘˜ ) ยท ( โˆซ2 โ€˜ ( ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค ( โ„œ โ€˜ ( ๐ถ / ( i โ†‘ ๐‘˜ ) ) ) ) , ( โ„œ โ€˜ ( ๐ถ / ( i โ†‘ ๐‘˜ ) ) ) , 0 ) ) ) ) = ฮฃ ๐‘˜ โˆˆ ( 0 ... 3 ) ( ( i โ†‘ ๐‘˜ ) ยท ( โˆซ2 โ€˜ ( ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค ( โ„œ โ€˜ ( ๐ท / ( i โ†‘ ๐‘˜ ) ) ) ) , ( โ„œ โ€˜ ( ๐ท / ( i โ†‘ ๐‘˜ ) ) ) , 0 ) ) ) ) )
16 eqid โŠข ( โ„œ โ€˜ ( ๐ถ / ( i โ†‘ ๐‘˜ ) ) ) = ( โ„œ โ€˜ ( ๐ถ / ( i โ†‘ ๐‘˜ ) ) )
17 16 dfitg โŠข โˆซ ๐ด ๐ถ d ๐‘ฅ = ฮฃ ๐‘˜ โˆˆ ( 0 ... 3 ) ( ( i โ†‘ ๐‘˜ ) ยท ( โˆซ2 โ€˜ ( ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค ( โ„œ โ€˜ ( ๐ถ / ( i โ†‘ ๐‘˜ ) ) ) ) , ( โ„œ โ€˜ ( ๐ถ / ( i โ†‘ ๐‘˜ ) ) ) , 0 ) ) ) )
18 eqid โŠข ( โ„œ โ€˜ ( ๐ท / ( i โ†‘ ๐‘˜ ) ) ) = ( โ„œ โ€˜ ( ๐ท / ( i โ†‘ ๐‘˜ ) ) )
19 18 dfitg โŠข โˆซ ๐ต ๐ท d ๐‘ฅ = ฮฃ ๐‘˜ โˆˆ ( 0 ... 3 ) ( ( i โ†‘ ๐‘˜ ) ยท ( โˆซ2 โ€˜ ( ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง 0 โ‰ค ( โ„œ โ€˜ ( ๐ท / ( i โ†‘ ๐‘˜ ) ) ) ) , ( โ„œ โ€˜ ( ๐ท / ( i โ†‘ ๐‘˜ ) ) ) , 0 ) ) ) )
20 15 17 19 3eqtr4g โŠข ( ๐œ‘ โ†’ โˆซ ๐ด ๐ถ d ๐‘ฅ = โˆซ ๐ต ๐ท d ๐‘ฅ )