Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
itgeq12dv.2 |
โข ( ๐ โ ๐ด = ๐ต ) |
2 |
|
itgeq12dv.1 |
โข ( ( ๐ โง ๐ฅ โ ๐ด ) โ ๐ถ = ๐ท ) |
3 |
2
|
fvoveq1d |
โข ( ( ๐ โง ๐ฅ โ ๐ด ) โ ( โ โ ( ๐ถ / ( i โ ๐ ) ) ) = ( โ โ ( ๐ท / ( i โ ๐ ) ) ) ) |
4 |
3
|
breq2d |
โข ( ( ๐ โง ๐ฅ โ ๐ด ) โ ( 0 โค ( โ โ ( ๐ถ / ( i โ ๐ ) ) ) โ 0 โค ( โ โ ( ๐ท / ( i โ ๐ ) ) ) ) ) |
5 |
4
|
pm5.32da |
โข ( ๐ โ ( ( ๐ฅ โ ๐ด โง 0 โค ( โ โ ( ๐ถ / ( i โ ๐ ) ) ) ) โ ( ๐ฅ โ ๐ด โง 0 โค ( โ โ ( ๐ท / ( i โ ๐ ) ) ) ) ) ) |
6 |
1
|
eleq2d |
โข ( ๐ โ ( ๐ฅ โ ๐ด โ ๐ฅ โ ๐ต ) ) |
7 |
6
|
anbi1d |
โข ( ๐ โ ( ( ๐ฅ โ ๐ด โง 0 โค ( โ โ ( ๐ท / ( i โ ๐ ) ) ) ) โ ( ๐ฅ โ ๐ต โง 0 โค ( โ โ ( ๐ท / ( i โ ๐ ) ) ) ) ) ) |
8 |
5 7
|
bitrd |
โข ( ๐ โ ( ( ๐ฅ โ ๐ด โง 0 โค ( โ โ ( ๐ถ / ( i โ ๐ ) ) ) ) โ ( ๐ฅ โ ๐ต โง 0 โค ( โ โ ( ๐ท / ( i โ ๐ ) ) ) ) ) ) |
9 |
3
|
adantrr |
โข ( ( ๐ โง ( ๐ฅ โ ๐ด โง 0 โค ( โ โ ( ๐ถ / ( i โ ๐ ) ) ) ) ) โ ( โ โ ( ๐ถ / ( i โ ๐ ) ) ) = ( โ โ ( ๐ท / ( i โ ๐ ) ) ) ) |
10 |
|
eqidd |
โข ( ( ๐ โง ยฌ ( ๐ฅ โ ๐ด โง 0 โค ( โ โ ( ๐ถ / ( i โ ๐ ) ) ) ) ) โ 0 = 0 ) |
11 |
8 9 10
|
ifbieq12d2 |
โข ( ๐ โ if ( ( ๐ฅ โ ๐ด โง 0 โค ( โ โ ( ๐ถ / ( i โ ๐ ) ) ) ) , ( โ โ ( ๐ถ / ( i โ ๐ ) ) ) , 0 ) = if ( ( ๐ฅ โ ๐ต โง 0 โค ( โ โ ( ๐ท / ( i โ ๐ ) ) ) ) , ( โ โ ( ๐ท / ( i โ ๐ ) ) ) , 0 ) ) |
12 |
11
|
mpteq2dv |
โข ( ๐ โ ( ๐ฅ โ โ โฆ if ( ( ๐ฅ โ ๐ด โง 0 โค ( โ โ ( ๐ถ / ( i โ ๐ ) ) ) ) , ( โ โ ( ๐ถ / ( i โ ๐ ) ) ) , 0 ) ) = ( ๐ฅ โ โ โฆ if ( ( ๐ฅ โ ๐ต โง 0 โค ( โ โ ( ๐ท / ( i โ ๐ ) ) ) ) , ( โ โ ( ๐ท / ( i โ ๐ ) ) ) , 0 ) ) ) |
13 |
12
|
fveq2d |
โข ( ๐ โ ( โซ2 โ ( ๐ฅ โ โ โฆ if ( ( ๐ฅ โ ๐ด โง 0 โค ( โ โ ( ๐ถ / ( i โ ๐ ) ) ) ) , ( โ โ ( ๐ถ / ( i โ ๐ ) ) ) , 0 ) ) ) = ( โซ2 โ ( ๐ฅ โ โ โฆ if ( ( ๐ฅ โ ๐ต โง 0 โค ( โ โ ( ๐ท / ( i โ ๐ ) ) ) ) , ( โ โ ( ๐ท / ( i โ ๐ ) ) ) , 0 ) ) ) ) |
14 |
13
|
oveq2d |
โข ( ๐ โ ( ( i โ ๐ ) ยท ( โซ2 โ ( ๐ฅ โ โ โฆ if ( ( ๐ฅ โ ๐ด โง 0 โค ( โ โ ( ๐ถ / ( i โ ๐ ) ) ) ) , ( โ โ ( ๐ถ / ( i โ ๐ ) ) ) , 0 ) ) ) ) = ( ( i โ ๐ ) ยท ( โซ2 โ ( ๐ฅ โ โ โฆ if ( ( ๐ฅ โ ๐ต โง 0 โค ( โ โ ( ๐ท / ( i โ ๐ ) ) ) ) , ( โ โ ( ๐ท / ( i โ ๐ ) ) ) , 0 ) ) ) ) ) |
15 |
14
|
sumeq2sdv |
โข ( ๐ โ ฮฃ ๐ โ ( 0 ... 3 ) ( ( i โ ๐ ) ยท ( โซ2 โ ( ๐ฅ โ โ โฆ if ( ( ๐ฅ โ ๐ด โง 0 โค ( โ โ ( ๐ถ / ( i โ ๐ ) ) ) ) , ( โ โ ( ๐ถ / ( i โ ๐ ) ) ) , 0 ) ) ) ) = ฮฃ ๐ โ ( 0 ... 3 ) ( ( i โ ๐ ) ยท ( โซ2 โ ( ๐ฅ โ โ โฆ if ( ( ๐ฅ โ ๐ต โง 0 โค ( โ โ ( ๐ท / ( i โ ๐ ) ) ) ) , ( โ โ ( ๐ท / ( i โ ๐ ) ) ) , 0 ) ) ) ) ) |
16 |
|
eqid |
โข ( โ โ ( ๐ถ / ( i โ ๐ ) ) ) = ( โ โ ( ๐ถ / ( i โ ๐ ) ) ) |
17 |
16
|
dfitg |
โข โซ ๐ด ๐ถ d ๐ฅ = ฮฃ ๐ โ ( 0 ... 3 ) ( ( i โ ๐ ) ยท ( โซ2 โ ( ๐ฅ โ โ โฆ if ( ( ๐ฅ โ ๐ด โง 0 โค ( โ โ ( ๐ถ / ( i โ ๐ ) ) ) ) , ( โ โ ( ๐ถ / ( i โ ๐ ) ) ) , 0 ) ) ) ) |
18 |
|
eqid |
โข ( โ โ ( ๐ท / ( i โ ๐ ) ) ) = ( โ โ ( ๐ท / ( i โ ๐ ) ) ) |
19 |
18
|
dfitg |
โข โซ ๐ต ๐ท d ๐ฅ = ฮฃ ๐ โ ( 0 ... 3 ) ( ( i โ ๐ ) ยท ( โซ2 โ ( ๐ฅ โ โ โฆ if ( ( ๐ฅ โ ๐ต โง 0 โค ( โ โ ( ๐ท / ( i โ ๐ ) ) ) ) , ( โ โ ( ๐ท / ( i โ ๐ ) ) ) , 0 ) ) ) ) |
20 |
15 17 19
|
3eqtr4g |
โข ( ๐ โ โซ ๐ด ๐ถ d ๐ฅ = โซ ๐ต ๐ท d ๐ฅ ) |