Theorem itsclc0lem3

Description: Lemma for theorems about intersections of lines and circles in a real Euclidean space of dimension 2 . (Contributed by AV, 2-May-2023)

	Ref	Expression
Hypotheses	itsclc0lem3.q	⊢ 𝑄 = ( ( 𝐴 ↑ 2 ) + ( 𝐵 ↑ 2 ) )
	itsclc0lem3.d	⊢ 𝐷 = ( ( ( 𝑅 ↑ 2 ) · 𝑄 ) − ( 𝐶 ↑ 2 ) )
Assertion	itsclc0lem3	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) → 𝐷 ∈ ℝ )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itsclc0lem3.q	⊢ 𝑄 = ( ( 𝐴 ↑ 2 ) + ( 𝐵 ↑ 2 ) )
2		itsclc0lem3.d	⊢ 𝐷 = ( ( ( 𝑅 ↑ 2 ) · 𝑄 ) − ( 𝐶 ↑ 2 ) )
3		simpr	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) → 𝑅 ∈ ℝ )
4	3	resqcld	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) → ( 𝑅 ↑ 2 ) ∈ ℝ )
5	1	resum2sqcl	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → 𝑄 ∈ ℝ )
6	5	3adant3	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → 𝑄 ∈ ℝ )
7	6	adantr	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) → 𝑄 ∈ ℝ )
8	4 7	remulcld	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑅 ↑ 2 ) · 𝑄 ) ∈ ℝ )
9		simpl3	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) → 𝐶 ∈ ℝ )
10	9	resqcld	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) → ( 𝐶 ↑ 2 ) ∈ ℝ )
11	8 10	resubcld	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) → ( ( ( 𝑅 ↑ 2 ) · 𝑄 ) − ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ∈ ℝ )
12	2 11	eqeltrid	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) → 𝐷 ∈ ℝ )