Theorem krippen

Description: Krippenlemma (German for crib's lemma) Lemma 7.22 of Schwabhauser p. 53. proven by Gupta 1965 as Theorem 3.45. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Aug-2019)

	Ref	Expression
Hypotheses	mirval.p	⊢ 𝑃 = ( Base ‘ 𝐺 )
	mirval.d	⊢ − = ( dist ‘ 𝐺 )
	mirval.i	⊢ 𝐼 = ( Itv ‘ 𝐺 )
	mirval.l	⊢ 𝐿 = ( LineG ‘ 𝐺 )
	mirval.s	⊢ 𝑆 = ( pInvG ‘ 𝐺 )
	mirval.g	⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG )
	krippen.m	⊢ 𝑀 = ( 𝑆 ‘ 𝑋 )
	krippen.n	⊢ 𝑁 = ( 𝑆 ‘ 𝑌 )
	krippen.a	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃 )
	krippen.b	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃 )
	krippen.c	⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃 )
	krippen.e	⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃 )
	krippen.f	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃 )
	krippen.x	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃 )
	krippen.y	⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃 )
	krippen.1	⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐸 ) )
	krippen.2	⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ( 𝐵 𝐼 𝐹 ) )
	krippen.3	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐶 − 𝐴 ) = ( 𝐶 − 𝐵 ) )
	krippen.4	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐶 − 𝐸 ) = ( 𝐶 − 𝐹 ) )
	krippen.5	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 = ( 𝑀 ‘ 𝐴 ) )
	krippen.6	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 = ( 𝑁 ‘ 𝐸 ) )
Assertion	krippen	⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mirval.p	⊢ 𝑃 = ( Base ‘ 𝐺 )
2		mirval.d	⊢ − = ( dist ‘ 𝐺 )
3		mirval.i	⊢ 𝐼 = ( Itv ‘ 𝐺 )
4		mirval.l	⊢ 𝐿 = ( LineG ‘ 𝐺 )
5		mirval.s	⊢ 𝑆 = ( pInvG ‘ 𝐺 )
6		mirval.g	⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG )
7		krippen.m	⊢ 𝑀 = ( 𝑆 ‘ 𝑋 )
8		krippen.n	⊢ 𝑁 = ( 𝑆 ‘ 𝑌 )
9		krippen.a	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃 )
10		krippen.b	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃 )
11		krippen.c	⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃 )
12		krippen.e	⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃 )
13		krippen.f	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃 )
14		krippen.x	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃 )
15		krippen.y	⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃 )
16		krippen.1	⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐸 ) )
17		krippen.2	⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ( 𝐵 𝐼 𝐹 ) )
18		krippen.3	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐶 − 𝐴 ) = ( 𝐶 − 𝐵 ) )
19		krippen.4	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐶 − 𝐸 ) = ( 𝐶 − 𝐹 ) )
20		krippen.5	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 = ( 𝑀 ‘ 𝐴 ) )
21		krippen.6	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 = ( 𝑁 ‘ 𝐸 ) )
22	6	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐶 − 𝐴 ) ( ≤G ‘ 𝐺 ) ( 𝐶 − 𝐸 ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG )
23	9	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐶 − 𝐴 ) ( ≤G ‘ 𝐺 ) ( 𝐶 − 𝐸 ) ) → 𝐴 ∈ 𝑃 )
24	10	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐶 − 𝐴 ) ( ≤G ‘ 𝐺 ) ( 𝐶 − 𝐸 ) ) → 𝐵 ∈ 𝑃 )
25	11	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐶 − 𝐴 ) ( ≤G ‘ 𝐺 ) ( 𝐶 − 𝐸 ) ) → 𝐶 ∈ 𝑃 )
26	12	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐶 − 𝐴 ) ( ≤G ‘ 𝐺 ) ( 𝐶 − 𝐸 ) ) → 𝐸 ∈ 𝑃 )
27	13	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐶 − 𝐴 ) ( ≤G ‘ 𝐺 ) ( 𝐶 − 𝐸 ) ) → 𝐹 ∈ 𝑃 )
28	14	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐶 − 𝐴 ) ( ≤G ‘ 𝐺 ) ( 𝐶 − 𝐸 ) ) → 𝑋 ∈ 𝑃 )
29	15	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐶 − 𝐴 ) ( ≤G ‘ 𝐺 ) ( 𝐶 − 𝐸 ) ) → 𝑌 ∈ 𝑃 )
30	16	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐶 − 𝐴 ) ( ≤G ‘ 𝐺 ) ( 𝐶 − 𝐸 ) ) → 𝐶 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐸 ) )
31	17	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐶 − 𝐴 ) ( ≤G ‘ 𝐺 ) ( 𝐶 − 𝐸 ) ) → 𝐶 ∈ ( 𝐵 𝐼 𝐹 ) )
32	18	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐶 − 𝐴 ) ( ≤G ‘ 𝐺 ) ( 𝐶 − 𝐸 ) ) → ( 𝐶 − 𝐴 ) = ( 𝐶 − 𝐵 ) )
33	19	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐶 − 𝐴 ) ( ≤G ‘ 𝐺 ) ( 𝐶 − 𝐸 ) ) → ( 𝐶 − 𝐸 ) = ( 𝐶 − 𝐹 ) )
34	20	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐶 − 𝐴 ) ( ≤G ‘ 𝐺 ) ( 𝐶 − 𝐸 ) ) → 𝐵 = ( 𝑀 ‘ 𝐴 ) )
35	21	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐶 − 𝐴 ) ( ≤G ‘ 𝐺 ) ( 𝐶 − 𝐸 ) ) → 𝐹 = ( 𝑁 ‘ 𝐸 ) )
36		eqid	⊢ ( ≤G ‘ 𝐺 ) = ( ≤G ‘ 𝐺 )
37		simpr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐶 − 𝐴 ) ( ≤G ‘ 𝐺 ) ( 𝐶 − 𝐸 ) ) → ( 𝐶 − 𝐴 ) ( ≤G ‘ 𝐺 ) ( 𝐶 − 𝐸 ) )
38	1 2 3 4 5 22 7 8 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37	krippenlem	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐶 − 𝐴 ) ( ≤G ‘ 𝐺 ) ( 𝐶 − 𝐸 ) ) → 𝐶 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) )
39	6	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐶 − 𝐸 ) ( ≤G ‘ 𝐺 ) ( 𝐶 − 𝐴 ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG )
40	15	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐶 − 𝐸 ) ( ≤G ‘ 𝐺 ) ( 𝐶 − 𝐴 ) ) → 𝑌 ∈ 𝑃 )
41	11	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐶 − 𝐸 ) ( ≤G ‘ 𝐺 ) ( 𝐶 − 𝐴 ) ) → 𝐶 ∈ 𝑃 )
42	14	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐶 − 𝐸 ) ( ≤G ‘ 𝐺 ) ( 𝐶 − 𝐴 ) ) → 𝑋 ∈ 𝑃 )
43	12	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐶 − 𝐸 ) ( ≤G ‘ 𝐺 ) ( 𝐶 − 𝐴 ) ) → 𝐸 ∈ 𝑃 )
44	13	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐶 − 𝐸 ) ( ≤G ‘ 𝐺 ) ( 𝐶 − 𝐴 ) ) → 𝐹 ∈ 𝑃 )
45	9	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐶 − 𝐸 ) ( ≤G ‘ 𝐺 ) ( 𝐶 − 𝐴 ) ) → 𝐴 ∈ 𝑃 )
46	10	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐶 − 𝐸 ) ( ≤G ‘ 𝐺 ) ( 𝐶 − 𝐴 ) ) → 𝐵 ∈ 𝑃 )
47	16	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐶 − 𝐸 ) ( ≤G ‘ 𝐺 ) ( 𝐶 − 𝐴 ) ) → 𝐶 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐸 ) )
48	1 2 3 39 45 41 43 47	tgbtwncom	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐶 − 𝐸 ) ( ≤G ‘ 𝐺 ) ( 𝐶 − 𝐴 ) ) → 𝐶 ∈ ( 𝐸 𝐼 𝐴 ) )
49	17	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐶 − 𝐸 ) ( ≤G ‘ 𝐺 ) ( 𝐶 − 𝐴 ) ) → 𝐶 ∈ ( 𝐵 𝐼 𝐹 ) )
50	1 2 3 39 46 41 44 49	tgbtwncom	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐶 − 𝐸 ) ( ≤G ‘ 𝐺 ) ( 𝐶 − 𝐴 ) ) → 𝐶 ∈ ( 𝐹 𝐼 𝐵 ) )
51	19	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐶 − 𝐸 ) ( ≤G ‘ 𝐺 ) ( 𝐶 − 𝐴 ) ) → ( 𝐶 − 𝐸 ) = ( 𝐶 − 𝐹 ) )
52	18	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐶 − 𝐸 ) ( ≤G ‘ 𝐺 ) ( 𝐶 − 𝐴 ) ) → ( 𝐶 − 𝐴 ) = ( 𝐶 − 𝐵 ) )
53	21	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐶 − 𝐸 ) ( ≤G ‘ 𝐺 ) ( 𝐶 − 𝐴 ) ) → 𝐹 = ( 𝑁 ‘ 𝐸 ) )
54	20	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐶 − 𝐸 ) ( ≤G ‘ 𝐺 ) ( 𝐶 − 𝐴 ) ) → 𝐵 = ( 𝑀 ‘ 𝐴 ) )
55		simpr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐶 − 𝐸 ) ( ≤G ‘ 𝐺 ) ( 𝐶 − 𝐴 ) ) → ( 𝐶 − 𝐸 ) ( ≤G ‘ 𝐺 ) ( 𝐶 − 𝐴 ) )
56	1 2 3 4 5 39 8 7 43 44 41 45 46 40 42 48 50 51 52 53 54 36 55	krippenlem	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐶 − 𝐸 ) ( ≤G ‘ 𝐺 ) ( 𝐶 − 𝐴 ) ) → 𝐶 ∈ ( 𝑌 𝐼 𝑋 ) )
57	1 2 3 39 40 41 42 56	tgbtwncom	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐶 − 𝐸 ) ( ≤G ‘ 𝐺 ) ( 𝐶 − 𝐴 ) ) → 𝐶 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) )
58	1 2 3 36 6 11 9 11 12	legtrid	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐶 − 𝐴 ) ( ≤G ‘ 𝐺 ) ( 𝐶 − 𝐸 ) ∨ ( 𝐶 − 𝐸 ) ( ≤G ‘ 𝐺 ) ( 𝐶 − 𝐴 ) ) )
59	38 57 58	mpjaodan	⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) )