Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
legval.p |
⊢ 𝑃 = ( Base ‘ 𝐺 ) |
2 |
|
legval.d |
⊢ − = ( dist ‘ 𝐺 ) |
3 |
|
legval.i |
⊢ 𝐼 = ( Itv ‘ 𝐺 ) |
4 |
|
legval.l |
⊢ ≤ = ( ≤G ‘ 𝐺 ) |
5 |
|
legval.g |
⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG ) |
6 |
|
legid.a |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃 ) |
7 |
|
legid.b |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃 ) |
8 |
|
legtrd.c |
⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃 ) |
9 |
|
legtrd.d |
⊢ ( 𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃 ) |
10 |
5
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ♯ ‘ 𝑃 ) = 1 ) → 𝐺 ∈ TarskiG ) |
11 |
6
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ♯ ‘ 𝑃 ) = 1 ) → 𝐴 ∈ 𝑃 ) |
12 |
7
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ♯ ‘ 𝑃 ) = 1 ) → 𝐵 ∈ 𝑃 ) |
13 |
1 2 3 4 10 11 12
|
legid |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ♯ ‘ 𝑃 ) = 1 ) → ( 𝐴 − 𝐵 ) ≤ ( 𝐴 − 𝐵 ) ) |
14 |
8
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ♯ ‘ 𝑃 ) = 1 ) → 𝐶 ∈ 𝑃 ) |
15 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ♯ ‘ 𝑃 ) = 1 ) → ( ♯ ‘ 𝑃 ) = 1 ) |
16 |
9
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ♯ ‘ 𝑃 ) = 1 ) → 𝐷 ∈ 𝑃 ) |
17 |
1 2 3 10 11 12 14 15 16
|
tgldim0cgr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ♯ ‘ 𝑃 ) = 1 ) → ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐶 − 𝐷 ) ) |
18 |
13 17
|
breqtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ♯ ‘ 𝑃 ) = 1 ) → ( 𝐴 − 𝐵 ) ≤ ( 𝐶 − 𝐷 ) ) |
19 |
18
|
orcd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ♯ ‘ 𝑃 ) = 1 ) → ( ( 𝐴 − 𝐵 ) ≤ ( 𝐶 − 𝐷 ) ∨ ( 𝐶 − 𝐷 ) ≤ ( 𝐴 − 𝐵 ) ) ) |
20 |
5
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝐵 𝐼 𝑥 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝐴 − 𝑦 ) = ( 𝐶 − 𝐷 ) ) ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG ) |
21 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝐵 𝐼 𝑥 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥 ) ) → 𝑥 ∈ 𝑃 ) |
22 |
21
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝐵 𝐼 𝑥 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝐴 − 𝑦 ) = ( 𝐶 − 𝐷 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ 𝑃 ) |
23 |
6
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝐵 𝐼 𝑥 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝐴 − 𝑦 ) = ( 𝐶 − 𝐷 ) ) ) ) → 𝐴 ∈ 𝑃 ) |
24 |
7
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝐵 𝐼 𝑥 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝐴 − 𝑦 ) = ( 𝐶 − 𝐷 ) ) ) ) → 𝐵 ∈ 𝑃 ) |
25 |
|
simprl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝐵 𝐼 𝑥 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝐴 − 𝑦 ) = ( 𝐶 − 𝐷 ) ) ) ) → 𝑦 ∈ 𝑃 ) |
26 |
|
simplrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝐵 𝐼 𝑥 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝐴 − 𝑦 ) = ( 𝐶 − 𝐷 ) ) ) ) → 𝐴 ≠ 𝑥 ) |
27 |
26
|
necomd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝐵 𝐼 𝑥 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝐴 − 𝑦 ) = ( 𝐶 − 𝐷 ) ) ) ) → 𝑥 ≠ 𝐴 ) |
28 |
|
simplrl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝐵 𝐼 𝑥 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝐴 − 𝑦 ) = ( 𝐶 − 𝐷 ) ) ) ) → 𝐴 ∈ ( 𝐵 𝐼 𝑥 ) ) |
29 |
1 2 3 20 24 23 22 28
|
tgbtwncom |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝐵 𝐼 𝑥 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝐴 − 𝑦 ) = ( 𝐶 − 𝐷 ) ) ) ) → 𝐴 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝐵 ) ) |
30 |
|
simprrl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝐵 𝐼 𝑥 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝐴 − 𝑦 ) = ( 𝐶 − 𝐷 ) ) ) ) → 𝐴 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ) |
31 |
1 3 20 22 23 24 25 27 29 30
|
tgbtwnconn2 |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝐵 𝐼 𝑥 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝐴 − 𝑦 ) = ( 𝐶 − 𝐷 ) ) ) ) → ( 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐵 ) ) ) |
32 |
|
simprrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝐵 𝐼 𝑥 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝐴 − 𝑦 ) = ( 𝐶 − 𝐷 ) ) ) ) → ( 𝐴 − 𝑦 ) = ( 𝐶 − 𝐷 ) ) |
33 |
31 32
|
jca |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝐵 𝐼 𝑥 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝐴 − 𝑦 ) = ( 𝐶 − 𝐷 ) ) ) ) → ( ( 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐴 − 𝑦 ) = ( 𝐶 − 𝐷 ) ) ) |
34 |
5
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝐵 𝐼 𝑥 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥 ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG ) |
35 |
6
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝐵 𝐼 𝑥 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥 ) ) → 𝐴 ∈ 𝑃 ) |
36 |
8
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝐵 𝐼 𝑥 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥 ) ) → 𝐶 ∈ 𝑃 ) |
37 |
9
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝐵 𝐼 𝑥 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥 ) ) → 𝐷 ∈ 𝑃 ) |
38 |
1 2 3 34 21 35 36 37
|
axtgsegcon |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝐵 𝐼 𝑥 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥 ) ) → ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ( 𝐴 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝐴 − 𝑦 ) = ( 𝐶 − 𝐷 ) ) ) |
39 |
33 38
|
reximddv |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝐵 𝐼 𝑥 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥 ) ) → ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ( ( 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐴 − 𝑦 ) = ( 𝐶 − 𝐷 ) ) ) |
40 |
39
|
adantllr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝐵 𝐼 𝑥 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥 ) ) → ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ( ( 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐴 − 𝑦 ) = ( 𝐶 − 𝐷 ) ) ) |
41 |
5
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG ) |
42 |
7
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) → 𝐵 ∈ 𝑃 ) |
43 |
6
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) → 𝐴 ∈ 𝑃 ) |
44 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) → 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) |
45 |
1 2 3 41 42 43 44
|
tgbtwndiff |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) → ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ( 𝐴 ∈ ( 𝐵 𝐼 𝑥 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥 ) ) |
46 |
40 45
|
r19.29a |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) → ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ( ( 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐴 − 𝑦 ) = ( 𝐶 − 𝐷 ) ) ) |
47 |
|
andir |
⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐴 − 𝑦 ) = ( 𝐶 − 𝐷 ) ) ↔ ( ( 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝐴 − 𝑦 ) = ( 𝐶 − 𝐷 ) ) ∨ ( 𝑦 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐵 ) ∧ ( 𝐴 − 𝑦 ) = ( 𝐶 − 𝐷 ) ) ) ) |
48 |
|
eqcom |
⊢ ( ( 𝐴 − 𝑦 ) = ( 𝐶 − 𝐷 ) ↔ ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝐴 − 𝑦 ) ) |
49 |
48
|
anbi2i |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐵 ) ∧ ( 𝐴 − 𝑦 ) = ( 𝐶 − 𝐷 ) ) ↔ ( 𝑦 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐵 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝐴 − 𝑦 ) ) ) |
50 |
49
|
orbi2i |
⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝐴 − 𝑦 ) = ( 𝐶 − 𝐷 ) ) ∨ ( 𝑦 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐵 ) ∧ ( 𝐴 − 𝑦 ) = ( 𝐶 − 𝐷 ) ) ) ↔ ( ( 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝐴 − 𝑦 ) = ( 𝐶 − 𝐷 ) ) ∨ ( 𝑦 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐵 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝐴 − 𝑦 ) ) ) ) |
51 |
47 50
|
bitri |
⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐴 − 𝑦 ) = ( 𝐶 − 𝐷 ) ) ↔ ( ( 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝐴 − 𝑦 ) = ( 𝐶 − 𝐷 ) ) ∨ ( 𝑦 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐵 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝐴 − 𝑦 ) ) ) ) |
52 |
51
|
rexbii |
⊢ ( ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ( ( 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐴 − 𝑦 ) = ( 𝐶 − 𝐷 ) ) ↔ ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ( ( 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝐴 − 𝑦 ) = ( 𝐶 − 𝐷 ) ) ∨ ( 𝑦 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐵 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝐴 − 𝑦 ) ) ) ) |
53 |
|
r19.43 |
⊢ ( ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ( ( 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝐴 − 𝑦 ) = ( 𝐶 − 𝐷 ) ) ∨ ( 𝑦 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐵 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝐴 − 𝑦 ) ) ) ↔ ( ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ( 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝐴 − 𝑦 ) = ( 𝐶 − 𝐷 ) ) ∨ ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ( 𝑦 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐵 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝐴 − 𝑦 ) ) ) ) |
54 |
52 53
|
bitri |
⊢ ( ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ( ( 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐴 − 𝑦 ) = ( 𝐶 − 𝐷 ) ) ↔ ( ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ( 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝐴 − 𝑦 ) = ( 𝐶 − 𝐷 ) ) ∨ ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ( 𝑦 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐵 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝐴 − 𝑦 ) ) ) ) |
55 |
46 54
|
sylib |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) → ( ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ( 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝐴 − 𝑦 ) = ( 𝐶 − 𝐷 ) ) ∨ ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ( 𝑦 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐵 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝐴 − 𝑦 ) ) ) ) |
56 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9
|
legov2 |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 − 𝐵 ) ≤ ( 𝐶 − 𝐷 ) ↔ ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ( 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝐴 − 𝑦 ) = ( 𝐶 − 𝐷 ) ) ) ) |
57 |
1 2 3 4 5 8 9 6 7
|
legov |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐶 − 𝐷 ) ≤ ( 𝐴 − 𝐵 ) ↔ ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ( 𝑦 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐵 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝐴 − 𝑦 ) ) ) ) |
58 |
56 57
|
orbi12d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐴 − 𝐵 ) ≤ ( 𝐶 − 𝐷 ) ∨ ( 𝐶 − 𝐷 ) ≤ ( 𝐴 − 𝐵 ) ) ↔ ( ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ( 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝐴 − 𝑦 ) = ( 𝐶 − 𝐷 ) ) ∨ ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ( 𝑦 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐵 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝐴 − 𝑦 ) ) ) ) ) |
59 |
58
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) → ( ( ( 𝐴 − 𝐵 ) ≤ ( 𝐶 − 𝐷 ) ∨ ( 𝐶 − 𝐷 ) ≤ ( 𝐴 − 𝐵 ) ) ↔ ( ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ( 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝐴 − 𝑦 ) = ( 𝐶 − 𝐷 ) ) ∨ ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ( 𝑦 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐵 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝐴 − 𝑦 ) ) ) ) ) |
60 |
55 59
|
mpbird |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) → ( ( 𝐴 − 𝐵 ) ≤ ( 𝐶 − 𝐷 ) ∨ ( 𝐶 − 𝐷 ) ≤ ( 𝐴 − 𝐵 ) ) ) |
61 |
1 6
|
tgldimor |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ♯ ‘ 𝑃 ) = 1 ∨ 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑃 ) ) ) |
62 |
19 60 61
|
mpjaodan |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 − 𝐵 ) ≤ ( 𝐶 − 𝐷 ) ∨ ( 𝐶 − 𝐷 ) ≤ ( 𝐴 − 𝐵 ) ) ) |