Theorem lemuldiv

Description: 'Less than or equal' relationship between division and multiplication. (Contributed by NM, 10-Mar-2006)

	Ref	Expression
Assertion	lemuldiv	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) → ( ( 𝐴 · 𝐶 ) ≤ 𝐵 ↔ 𝐴 ≤ ( 𝐵 / 𝐶 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltdivmul2	⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) → ( ( 𝐵 / 𝐶 ) < 𝐴 ↔ 𝐵 < ( 𝐴 · 𝐶 ) ) )
2	1	3com12	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) → ( ( 𝐵 / 𝐶 ) < 𝐴 ↔ 𝐵 < ( 𝐴 · 𝐶 ) ) )
3	2	notbid	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) → ( ¬ ( 𝐵 / 𝐶 ) < 𝐴 ↔ ¬ 𝐵 < ( 𝐴 · 𝐶 ) ) )
4		simp1	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) → 𝐴 ∈ ℝ )
5		gt0ne0	⊢ ( ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) → 𝐶 ≠ 0 )
6	5	3adant1	⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) → 𝐶 ≠ 0 )
7		redivcl	⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) → ( 𝐵 / 𝐶 ) ∈ ℝ )
8	6 7	syld3an3	⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) → ( 𝐵 / 𝐶 ) ∈ ℝ )
9	8	3expb	⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) → ( 𝐵 / 𝐶 ) ∈ ℝ )
10	9	3adant1	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) → ( 𝐵 / 𝐶 ) ∈ ℝ )
11	4 10	lenltd	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) → ( 𝐴 ≤ ( 𝐵 / 𝐶 ) ↔ ¬ ( 𝐵 / 𝐶 ) < 𝐴 ) )
12		remulcl	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 · 𝐶 ) ∈ ℝ )
13	12	3adant2	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 · 𝐶 ) ∈ ℝ )
14		simp2	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → 𝐵 ∈ ℝ )
15	13 14	lenltd	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐴 · 𝐶 ) ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < ( 𝐴 · 𝐶 ) ) )
16	15	3adant3r	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) → ( ( 𝐴 · 𝐶 ) ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < ( 𝐴 · 𝐶 ) ) )
17	3 11 16	3bitr4rd	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) → ( ( 𝐴 · 𝐶 ) ≤ 𝐵 ↔ 𝐴 ≤ ( 𝐵 / 𝐶 ) ) )