# Metamath Proof Explorer

## Theorem lnfnl

Description: Basic linearity property of a linear functional. (Contributed by NM, 11-Feb-2006) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Assertion lnfnl ( ( ( 𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝐴 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ) ) → ( 𝑇 ‘ ( ( 𝐴 · 𝐵 ) + 𝐶 ) ) = ( ( 𝐴 · ( 𝑇𝐵 ) ) + ( 𝑇𝐶 ) ) )

### Proof

Step Hyp Ref Expression
1 ellnfn ( 𝑇 ∈ LinFn ↔ ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℂ ∧ ∀ 𝑥 ∈ ℂ ∀ 𝑦 ∈ ℋ ∀ 𝑧 ∈ ℋ ( 𝑇 ‘ ( ( 𝑥 · 𝑦 ) + 𝑧 ) ) = ( ( 𝑥 · ( 𝑇𝑦 ) ) + ( 𝑇𝑧 ) ) ) )
2 1 simprbi ( 𝑇 ∈ LinFn → ∀ 𝑥 ∈ ℂ ∀ 𝑦 ∈ ℋ ∀ 𝑧 ∈ ℋ ( 𝑇 ‘ ( ( 𝑥 · 𝑦 ) + 𝑧 ) ) = ( ( 𝑥 · ( 𝑇𝑦 ) ) + ( 𝑇𝑧 ) ) )
3 oveq1 ( 𝑥 = 𝐴 → ( 𝑥 · 𝑦 ) = ( 𝐴 · 𝑦 ) )
4 3 fvoveq1d ( 𝑥 = 𝐴 → ( 𝑇 ‘ ( ( 𝑥 · 𝑦 ) + 𝑧 ) ) = ( 𝑇 ‘ ( ( 𝐴 · 𝑦 ) + 𝑧 ) ) )
5 oveq1 ( 𝑥 = 𝐴 → ( 𝑥 · ( 𝑇𝑦 ) ) = ( 𝐴 · ( 𝑇𝑦 ) ) )
6 5 oveq1d ( 𝑥 = 𝐴 → ( ( 𝑥 · ( 𝑇𝑦 ) ) + ( 𝑇𝑧 ) ) = ( ( 𝐴 · ( 𝑇𝑦 ) ) + ( 𝑇𝑧 ) ) )
7 4 6 eqeq12d ( 𝑥 = 𝐴 → ( ( 𝑇 ‘ ( ( 𝑥 · 𝑦 ) + 𝑧 ) ) = ( ( 𝑥 · ( 𝑇𝑦 ) ) + ( 𝑇𝑧 ) ) ↔ ( 𝑇 ‘ ( ( 𝐴 · 𝑦 ) + 𝑧 ) ) = ( ( 𝐴 · ( 𝑇𝑦 ) ) + ( 𝑇𝑧 ) ) ) )
8 oveq2 ( 𝑦 = 𝐵 → ( 𝐴 · 𝑦 ) = ( 𝐴 · 𝐵 ) )
9 8 fvoveq1d ( 𝑦 = 𝐵 → ( 𝑇 ‘ ( ( 𝐴 · 𝑦 ) + 𝑧 ) ) = ( 𝑇 ‘ ( ( 𝐴 · 𝐵 ) + 𝑧 ) ) )
10 fveq2 ( 𝑦 = 𝐵 → ( 𝑇𝑦 ) = ( 𝑇𝐵 ) )
11 10 oveq2d ( 𝑦 = 𝐵 → ( 𝐴 · ( 𝑇𝑦 ) ) = ( 𝐴 · ( 𝑇𝐵 ) ) )
12 11 oveq1d ( 𝑦 = 𝐵 → ( ( 𝐴 · ( 𝑇𝑦 ) ) + ( 𝑇𝑧 ) ) = ( ( 𝐴 · ( 𝑇𝐵 ) ) + ( 𝑇𝑧 ) ) )
13 9 12 eqeq12d ( 𝑦 = 𝐵 → ( ( 𝑇 ‘ ( ( 𝐴 · 𝑦 ) + 𝑧 ) ) = ( ( 𝐴 · ( 𝑇𝑦 ) ) + ( 𝑇𝑧 ) ) ↔ ( 𝑇 ‘ ( ( 𝐴 · 𝐵 ) + 𝑧 ) ) = ( ( 𝐴 · ( 𝑇𝐵 ) ) + ( 𝑇𝑧 ) ) ) )
14 oveq2 ( 𝑧 = 𝐶 → ( ( 𝐴 · 𝐵 ) + 𝑧 ) = ( ( 𝐴 · 𝐵 ) + 𝐶 ) )
15 14 fveq2d ( 𝑧 = 𝐶 → ( 𝑇 ‘ ( ( 𝐴 · 𝐵 ) + 𝑧 ) ) = ( 𝑇 ‘ ( ( 𝐴 · 𝐵 ) + 𝐶 ) ) )
16 fveq2 ( 𝑧 = 𝐶 → ( 𝑇𝑧 ) = ( 𝑇𝐶 ) )
17 16 oveq2d ( 𝑧 = 𝐶 → ( ( 𝐴 · ( 𝑇𝐵 ) ) + ( 𝑇𝑧 ) ) = ( ( 𝐴 · ( 𝑇𝐵 ) ) + ( 𝑇𝐶 ) ) )
18 15 17 eqeq12d ( 𝑧 = 𝐶 → ( ( 𝑇 ‘ ( ( 𝐴 · 𝐵 ) + 𝑧 ) ) = ( ( 𝐴 · ( 𝑇𝐵 ) ) + ( 𝑇𝑧 ) ) ↔ ( 𝑇 ‘ ( ( 𝐴 · 𝐵 ) + 𝐶 ) ) = ( ( 𝐴 · ( 𝑇𝐵 ) ) + ( 𝑇𝐶 ) ) ) )
19 7 13 18 rspc3v ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ) → ( ∀ 𝑥 ∈ ℂ ∀ 𝑦 ∈ ℋ ∀ 𝑧 ∈ ℋ ( 𝑇 ‘ ( ( 𝑥 · 𝑦 ) + 𝑧 ) ) = ( ( 𝑥 · ( 𝑇𝑦 ) ) + ( 𝑇𝑧 ) ) → ( 𝑇 ‘ ( ( 𝐴 · 𝐵 ) + 𝐶 ) ) = ( ( 𝐴 · ( 𝑇𝐵 ) ) + ( 𝑇𝐶 ) ) ) )
20 2 19 syl5 ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ) → ( 𝑇 ∈ LinFn → ( 𝑇 ‘ ( ( 𝐴 · 𝐵 ) + 𝐶 ) ) = ( ( 𝐴 · ( 𝑇𝐵 ) ) + ( 𝑇𝐶 ) ) ) )
21 20 3expb ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ) ) → ( 𝑇 ∈ LinFn → ( 𝑇 ‘ ( ( 𝐴 · 𝐵 ) + 𝐶 ) ) = ( ( 𝐴 · ( 𝑇𝐵 ) ) + ( 𝑇𝐶 ) ) ) )
22 21 impcom ( ( 𝑇 ∈ LinFn ∧ ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ) ) ) → ( 𝑇 ‘ ( ( 𝐴 · 𝐵 ) + 𝐶 ) ) = ( ( 𝐴 · ( 𝑇𝐵 ) ) + ( 𝑇𝐶 ) ) )
23 22 anassrs ( ( ( 𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝐴 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ) ) → ( 𝑇 ‘ ( ( 𝐴 · 𝐵 ) + 𝐶 ) ) = ( ( 𝐴 · ( 𝑇𝐵 ) ) + ( 𝑇𝐶 ) ) )