Theorem lnxfr

Description: Transfer law for colinearity. Theorem 4.13 of Schwabhauser p. 37. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Apr-2019)

	Ref	Expression
Hypotheses	tglngval.p	⊢ 𝑃 = ( Base ‘ 𝐺 )
	tglngval.l	⊢ 𝐿 = ( LineG ‘ 𝐺 )
	tglngval.i	⊢ 𝐼 = ( Itv ‘ 𝐺 )
	tglngval.g	⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG )
	tglngval.x	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃 )
	tglngval.y	⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃 )
	tgcolg.z	⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃 )
	lnxfr.r	⊢ ∼ = ( cgrG ‘ 𝐺 )
	lnxfr.a	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃 )
	lnxfr.b	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃 )
	lnxfr.c	⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃 )
	lnxfr.1	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐿 𝑍 ) ∨ 𝑋 = 𝑍 ) )
	lnxfr.2	⊢ ( 𝜑 → ⟨“ 𝑋 𝑌 𝑍 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”⟩ )
Assertion	lnxfr	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐿 𝐶 ) ∨ 𝐴 = 𝐶 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglngval.p	⊢ 𝑃 = ( Base ‘ 𝐺 )
2		tglngval.l	⊢ 𝐿 = ( LineG ‘ 𝐺 )
3		tglngval.i	⊢ 𝐼 = ( Itv ‘ 𝐺 )
4		tglngval.g	⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG )
5		tglngval.x	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃 )
6		tglngval.y	⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃 )
7		tgcolg.z	⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃 )
8		lnxfr.r	⊢ ∼ = ( cgrG ‘ 𝐺 )
9		lnxfr.a	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃 )
10		lnxfr.b	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃 )
11		lnxfr.c	⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃 )
12		lnxfr.1	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐿 𝑍 ) ∨ 𝑋 = 𝑍 ) )
13		lnxfr.2	⊢ ( 𝜑 → ⟨“ 𝑋 𝑌 𝑍 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”⟩ )
14	4	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑍 ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG )
15	9	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑍 ) ) → 𝐴 ∈ 𝑃 )
16	11	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑍 ) ) → 𝐶 ∈ 𝑃 )
17	10	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑍 ) ) → 𝐵 ∈ 𝑃 )
18		eqid	⊢ ( dist ‘ 𝐺 ) = ( dist ‘ 𝐺 )
19	5	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑍 ) ) → 𝑋 ∈ 𝑃 )
20	6	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑍 ) ) → 𝑌 ∈ 𝑃 )
21	7	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑍 ) ) → 𝑍 ∈ 𝑃 )
22	13	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑍 ) ) → ⟨“ 𝑋 𝑌 𝑍 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”⟩ )
23		simpr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑍 ) ) → 𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑍 ) )
24	1 18 3 8 14 19 20 21 15 17 16 22 23	tgbtwnxfr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑍 ) ) → 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) )
25	1 2 3 14 15 16 17 24	btwncolg1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑍 ) ) → ( 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐿 𝐶 ) ∨ 𝐴 = 𝐶 ) )
26	4	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ( 𝑌 𝐼 𝑍 ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG )
27	9	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ( 𝑌 𝐼 𝑍 ) ) → 𝐴 ∈ 𝑃 )
28	11	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ( 𝑌 𝐼 𝑍 ) ) → 𝐶 ∈ 𝑃 )
29	10	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ( 𝑌 𝐼 𝑍 ) ) → 𝐵 ∈ 𝑃 )
30	6	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ( 𝑌 𝐼 𝑍 ) ) → 𝑌 ∈ 𝑃 )
31	5	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ( 𝑌 𝐼 𝑍 ) ) → 𝑋 ∈ 𝑃 )
32	7	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ( 𝑌 𝐼 𝑍 ) ) → 𝑍 ∈ 𝑃 )
33	13	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ( 𝑌 𝐼 𝑍 ) ) → ⟨“ 𝑋 𝑌 𝑍 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”⟩ )
34	1 18 3 8 26 31 30 32 27 29 28 33	cgr3swap12	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ( 𝑌 𝐼 𝑍 ) ) → ⟨“ 𝑌 𝑋 𝑍 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝐵 𝐴 𝐶 ”⟩ )
35		simpr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ( 𝑌 𝐼 𝑍 ) ) → 𝑋 ∈ ( 𝑌 𝐼 𝑍 ) )
36	1 18 3 8 26 30 31 32 29 27 28 34 35	tgbtwnxfr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ( 𝑌 𝐼 𝑍 ) ) → 𝐴 ∈ ( 𝐵 𝐼 𝐶 ) )
37	1 2 3 26 27 28 29 36	btwncolg2	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ( 𝑌 𝐼 𝑍 ) ) → ( 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐿 𝐶 ) ∨ 𝐴 = 𝐶 ) )
38	4	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG )
39	9	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ) → 𝐴 ∈ 𝑃 )
40	11	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ) → 𝐶 ∈ 𝑃 )
41	10	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ) → 𝐵 ∈ 𝑃 )
42	5	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ) → 𝑋 ∈ 𝑃 )
43	7	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ) → 𝑍 ∈ 𝑃 )
44	6	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ) → 𝑌 ∈ 𝑃 )
45	13	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ) → ⟨“ 𝑋 𝑌 𝑍 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”⟩ )
46	1 18 3 8 38 42 44 43 39 41 40 45	cgr3swap23	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ) → ⟨“ 𝑋 𝑍 𝑌 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝐴 𝐶 𝐵 ”⟩ )
47		simpr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ) → 𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) )
48	1 18 3 8 38 42 43 44 39 40 41 46 47	tgbtwnxfr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ) → 𝐶 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐵 ) )
49	1 2 3 38 39 40 41 48	btwncolg3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ) → ( 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐿 𝐶 ) ∨ 𝐴 = 𝐶 ) )
50	1 2 3 4 5 7 6	tgcolg	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐿 𝑍 ) ∨ 𝑋 = 𝑍 ) ↔ ( 𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑍 ) ∨ 𝑋 ∈ ( 𝑌 𝐼 𝑍 ) ∨ 𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ) ) )
51	12 50	mpbid	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑍 ) ∨ 𝑋 ∈ ( 𝑌 𝐼 𝑍 ) ∨ 𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ) )
52	25 37 49 51	mpjao3dan	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐿 𝐶 ) ∨ 𝐴 = 𝐶 ) )