Theorem lplnllnneN

Description: Two lattice lines defined by atoms defining a lattice plane are not equal. (Contributed by NM, 9-Oct-2012) (New usage is discouraged.)

	Ref	Expression
Hypotheses	lplnri1.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
	lplnri1.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
	lplnri1.p	⊢ 𝑃 = ( LPlanes ‘ 𝐾 )
	lplnri1.y	⊢ 𝑌 = ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 )
Assertion	lplnllnneN	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ) → ( 𝑄 ∨ 𝑆 ) ≠ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lplnri1.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
2		lplnri1.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
3		lplnri1.p	⊢ 𝑃 = ( LPlanes ‘ 𝐾 )
4		lplnri1.y	⊢ 𝑌 = ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 )
5		eqid	⊢ ( le ‘ 𝐾 ) = ( le ‘ 𝐾 )
6	5 1 2 3 4	lplnriaN	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ) → ¬ 𝑄 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) )
7		simpl1	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑆 ) = ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) → 𝐾 ∈ HL )
8		simpl21	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑆 ) = ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) → 𝑄 ∈ 𝐴 )
9		simpl23	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑆 ) = ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) → 𝑆 ∈ 𝐴 )
10	5 1 2	hlatlej1	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) → 𝑄 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑄 ∨ 𝑆 ) )
11	7 8 9 10	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑆 ) = ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) → 𝑄 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑄 ∨ 𝑆 ) )
12		simpr	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑆 ) = ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) → ( 𝑄 ∨ 𝑆 ) = ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) )
13	11 12	breqtrd	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑆 ) = ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) → 𝑄 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) )
14	13	ex	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ) → ( ( 𝑄 ∨ 𝑆 ) = ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) → 𝑄 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) )
15	14	necon3bd	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ) → ( ¬ 𝑄 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) → ( 𝑄 ∨ 𝑆 ) ≠ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) )
16	6 15	mpd	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ) → ( 𝑄 ∨ 𝑆 ) ≠ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) )