Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
lsspropd.b1 |
โข ( ๐ โ ๐ต = ( Base โ ๐พ ) ) |
2 |
|
lsspropd.b2 |
โข ( ๐ โ ๐ต = ( Base โ ๐ฟ ) ) |
3 |
|
lsspropd.w |
โข ( ๐ โ ๐ต โ ๐ ) |
4 |
|
lsspropd.p |
โข ( ( ๐ โง ( ๐ฅ โ ๐ โง ๐ฆ โ ๐ ) ) โ ( ๐ฅ ( +g โ ๐พ ) ๐ฆ ) = ( ๐ฅ ( +g โ ๐ฟ ) ๐ฆ ) ) |
5 |
|
lsspropd.s1 |
โข ( ( ๐ โง ( ๐ฅ โ ๐ โง ๐ฆ โ ๐ต ) ) โ ( ๐ฅ ( ยท๐ โ ๐พ ) ๐ฆ ) โ ๐ ) |
6 |
|
lsspropd.s2 |
โข ( ( ๐ โง ( ๐ฅ โ ๐ โง ๐ฆ โ ๐ต ) ) โ ( ๐ฅ ( ยท๐ โ ๐พ ) ๐ฆ ) = ( ๐ฅ ( ยท๐ โ ๐ฟ ) ๐ฆ ) ) |
7 |
|
lsspropd.p1 |
โข ( ๐ โ ๐ = ( Base โ ( Scalar โ ๐พ ) ) ) |
8 |
|
lsspropd.p2 |
โข ( ๐ โ ๐ = ( Base โ ( Scalar โ ๐ฟ ) ) ) |
9 |
|
lsppropd.v1 |
โข ( ๐ โ ๐พ โ ๐ ) |
10 |
|
lsppropd.v2 |
โข ( ๐ โ ๐ฟ โ ๐ ) |
11 |
1 2
|
eqtr3d |
โข ( ๐ โ ( Base โ ๐พ ) = ( Base โ ๐ฟ ) ) |
12 |
11
|
pweqd |
โข ( ๐ โ ๐ซ ( Base โ ๐พ ) = ๐ซ ( Base โ ๐ฟ ) ) |
13 |
1 2 3 4 5 6 7 8
|
lsspropd |
โข ( ๐ โ ( LSubSp โ ๐พ ) = ( LSubSp โ ๐ฟ ) ) |
14 |
13
|
rabeqdv |
โข ( ๐ โ { ๐ก โ ( LSubSp โ ๐พ ) โฃ ๐ โ ๐ก } = { ๐ก โ ( LSubSp โ ๐ฟ ) โฃ ๐ โ ๐ก } ) |
15 |
14
|
inteqd |
โข ( ๐ โ โฉ { ๐ก โ ( LSubSp โ ๐พ ) โฃ ๐ โ ๐ก } = โฉ { ๐ก โ ( LSubSp โ ๐ฟ ) โฃ ๐ โ ๐ก } ) |
16 |
12 15
|
mpteq12dv |
โข ( ๐ โ ( ๐ โ ๐ซ ( Base โ ๐พ ) โฆ โฉ { ๐ก โ ( LSubSp โ ๐พ ) โฃ ๐ โ ๐ก } ) = ( ๐ โ ๐ซ ( Base โ ๐ฟ ) โฆ โฉ { ๐ก โ ( LSubSp โ ๐ฟ ) โฃ ๐ โ ๐ก } ) ) |
17 |
|
eqid |
โข ( Base โ ๐พ ) = ( Base โ ๐พ ) |
18 |
|
eqid |
โข ( LSubSp โ ๐พ ) = ( LSubSp โ ๐พ ) |
19 |
|
eqid |
โข ( LSpan โ ๐พ ) = ( LSpan โ ๐พ ) |
20 |
17 18 19
|
lspfval |
โข ( ๐พ โ ๐ โ ( LSpan โ ๐พ ) = ( ๐ โ ๐ซ ( Base โ ๐พ ) โฆ โฉ { ๐ก โ ( LSubSp โ ๐พ ) โฃ ๐ โ ๐ก } ) ) |
21 |
9 20
|
syl |
โข ( ๐ โ ( LSpan โ ๐พ ) = ( ๐ โ ๐ซ ( Base โ ๐พ ) โฆ โฉ { ๐ก โ ( LSubSp โ ๐พ ) โฃ ๐ โ ๐ก } ) ) |
22 |
|
eqid |
โข ( Base โ ๐ฟ ) = ( Base โ ๐ฟ ) |
23 |
|
eqid |
โข ( LSubSp โ ๐ฟ ) = ( LSubSp โ ๐ฟ ) |
24 |
|
eqid |
โข ( LSpan โ ๐ฟ ) = ( LSpan โ ๐ฟ ) |
25 |
22 23 24
|
lspfval |
โข ( ๐ฟ โ ๐ โ ( LSpan โ ๐ฟ ) = ( ๐ โ ๐ซ ( Base โ ๐ฟ ) โฆ โฉ { ๐ก โ ( LSubSp โ ๐ฟ ) โฃ ๐ โ ๐ก } ) ) |
26 |
10 25
|
syl |
โข ( ๐ โ ( LSpan โ ๐ฟ ) = ( ๐ โ ๐ซ ( Base โ ๐ฟ ) โฆ โฉ { ๐ก โ ( LSubSp โ ๐ฟ ) โฃ ๐ โ ๐ก } ) ) |
27 |
16 21 26
|
3eqtr4d |
โข ( ๐ โ ( LSpan โ ๐พ ) = ( LSpan โ ๐ฟ ) ) |