Theorem ltmul1a

Description: Lemma for ltmul1 . Multiplication of both sides of 'less than' by a positive number. Theorem I.19 of Apostol p. 20. (Contributed by NM, 15-May-1999) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016)

	Ref	Expression
Assertion	ltmul1a	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) ∧ 𝐴 < 𝐵 ) → ( 𝐴 · 𝐶 ) < ( 𝐵 · 𝐶 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) ∧ 𝐴 < 𝐵 ) → 𝐵 ∈ ℝ )
2		simpl1	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) ∧ 𝐴 < 𝐵 ) → 𝐴 ∈ ℝ )
3	1 2	resubcld	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) ∧ 𝐴 < 𝐵 ) → ( 𝐵 − 𝐴 ) ∈ ℝ )
4		simpl3l	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) ∧ 𝐴 < 𝐵 ) → 𝐶 ∈ ℝ )
5		simpr	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) ∧ 𝐴 < 𝐵 ) → 𝐴 < 𝐵 )
6	2 1	posdifd	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) ∧ 𝐴 < 𝐵 ) → ( 𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < ( 𝐵 − 𝐴 ) ) )
7	5 6	mpbid	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) ∧ 𝐴 < 𝐵 ) → 0 < ( 𝐵 − 𝐴 ) )
8		simpl3r	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) ∧ 𝐴 < 𝐵 ) → 0 < 𝐶 )
9	3 4 7 8	mulgt0d	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) ∧ 𝐴 < 𝐵 ) → 0 < ( ( 𝐵 − 𝐴 ) · 𝐶 ) )
10	1	recnd	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) ∧ 𝐴 < 𝐵 ) → 𝐵 ∈ ℂ )
11	2	recnd	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) ∧ 𝐴 < 𝐵 ) → 𝐴 ∈ ℂ )
12	4	recnd	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) ∧ 𝐴 < 𝐵 ) → 𝐶 ∈ ℂ )
13	10 11 12	subdird	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) ∧ 𝐴 < 𝐵 ) → ( ( 𝐵 − 𝐴 ) · 𝐶 ) = ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · 𝐶 ) ) )
14	9 13	breqtrd	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) ∧ 𝐴 < 𝐵 ) → 0 < ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · 𝐶 ) ) )
15	2 4	remulcld	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) ∧ 𝐴 < 𝐵 ) → ( 𝐴 · 𝐶 ) ∈ ℝ )
16	1 4	remulcld	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) ∧ 𝐴 < 𝐵 ) → ( 𝐵 · 𝐶 ) ∈ ℝ )
17	15 16	posdifd	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) ∧ 𝐴 < 𝐵 ) → ( ( 𝐴 · 𝐶 ) < ( 𝐵 · 𝐶 ) ↔ 0 < ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · 𝐶 ) ) ) )
18	14 17	mpbird	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) ∧ 𝐴 < 𝐵 ) → ( 𝐴 · 𝐶 ) < ( 𝐵 · 𝐶 ) )