Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
metdscn.f |
β’ πΉ = ( π₯ β π β¦ inf ( ran ( π¦ β π β¦ ( π₯ π· π¦ ) ) , β* , < ) ) |
2 |
|
metdscn.j |
β’ π½ = ( MetOpen β π· ) |
3 |
|
metdscn.c |
β’ πΆ = ( dist β β*π ) |
4 |
|
metdscn.k |
β’ πΎ = ( MetOpen β πΆ ) |
5 |
|
metdscnlem.1 |
β’ ( π β π· β ( βMet β π ) ) |
6 |
|
metdscnlem.2 |
β’ ( π β π β π ) |
7 |
|
metdscnlem.3 |
β’ ( π β π΄ β π ) |
8 |
|
metdscnlem.4 |
β’ ( π β π΅ β π ) |
9 |
|
metdscnlem.5 |
β’ ( π β π
β β+ ) |
10 |
|
metdscnlem.6 |
β’ ( π β ( π΄ π· π΅ ) < π
) |
11 |
1
|
metdsf |
β’ ( ( π· β ( βMet β π ) β§ π β π ) β πΉ : π βΆ ( 0 [,] +β ) ) |
12 |
5 6 11
|
syl2anc |
β’ ( π β πΉ : π βΆ ( 0 [,] +β ) ) |
13 |
12 7
|
ffvelcdmd |
β’ ( π β ( πΉ β π΄ ) β ( 0 [,] +β ) ) |
14 |
|
eliccxr |
β’ ( ( πΉ β π΄ ) β ( 0 [,] +β ) β ( πΉ β π΄ ) β β* ) |
15 |
13 14
|
syl |
β’ ( π β ( πΉ β π΄ ) β β* ) |
16 |
12 8
|
ffvelcdmd |
β’ ( π β ( πΉ β π΅ ) β ( 0 [,] +β ) ) |
17 |
|
eliccxr |
β’ ( ( πΉ β π΅ ) β ( 0 [,] +β ) β ( πΉ β π΅ ) β β* ) |
18 |
16 17
|
syl |
β’ ( π β ( πΉ β π΅ ) β β* ) |
19 |
18
|
xnegcld |
β’ ( π β -π ( πΉ β π΅ ) β β* ) |
20 |
15 19
|
xaddcld |
β’ ( π β ( ( πΉ β π΄ ) +π -π ( πΉ β π΅ ) ) β β* ) |
21 |
|
xmetcl |
β’ ( ( π· β ( βMet β π ) β§ π΄ β π β§ π΅ β π ) β ( π΄ π· π΅ ) β β* ) |
22 |
5 7 8 21
|
syl3anc |
β’ ( π β ( π΄ π· π΅ ) β β* ) |
23 |
9
|
rpxrd |
β’ ( π β π
β β* ) |
24 |
1
|
metdstri |
β’ ( ( ( π· β ( βMet β π ) β§ π β π ) β§ ( π΄ β π β§ π΅ β π ) ) β ( πΉ β π΄ ) β€ ( ( π΄ π· π΅ ) +π ( πΉ β π΅ ) ) ) |
25 |
5 6 7 8 24
|
syl22anc |
β’ ( π β ( πΉ β π΄ ) β€ ( ( π΄ π· π΅ ) +π ( πΉ β π΅ ) ) ) |
26 |
|
elxrge0 |
β’ ( ( πΉ β π΄ ) β ( 0 [,] +β ) β ( ( πΉ β π΄ ) β β* β§ 0 β€ ( πΉ β π΄ ) ) ) |
27 |
26
|
simprbi |
β’ ( ( πΉ β π΄ ) β ( 0 [,] +β ) β 0 β€ ( πΉ β π΄ ) ) |
28 |
13 27
|
syl |
β’ ( π β 0 β€ ( πΉ β π΄ ) ) |
29 |
|
elxrge0 |
β’ ( ( πΉ β π΅ ) β ( 0 [,] +β ) β ( ( πΉ β π΅ ) β β* β§ 0 β€ ( πΉ β π΅ ) ) ) |
30 |
29
|
simprbi |
β’ ( ( πΉ β π΅ ) β ( 0 [,] +β ) β 0 β€ ( πΉ β π΅ ) ) |
31 |
16 30
|
syl |
β’ ( π β 0 β€ ( πΉ β π΅ ) ) |
32 |
|
ge0nemnf |
β’ ( ( ( πΉ β π΅ ) β β* β§ 0 β€ ( πΉ β π΅ ) ) β ( πΉ β π΅ ) β -β ) |
33 |
18 31 32
|
syl2anc |
β’ ( π β ( πΉ β π΅ ) β -β ) |
34 |
|
xmetge0 |
β’ ( ( π· β ( βMet β π ) β§ π΄ β π β§ π΅ β π ) β 0 β€ ( π΄ π· π΅ ) ) |
35 |
5 7 8 34
|
syl3anc |
β’ ( π β 0 β€ ( π΄ π· π΅ ) ) |
36 |
|
xlesubadd |
β’ ( ( ( ( πΉ β π΄ ) β β* β§ ( πΉ β π΅ ) β β* β§ ( π΄ π· π΅ ) β β* ) β§ ( 0 β€ ( πΉ β π΄ ) β§ ( πΉ β π΅ ) β -β β§ 0 β€ ( π΄ π· π΅ ) ) ) β ( ( ( πΉ β π΄ ) +π -π ( πΉ β π΅ ) ) β€ ( π΄ π· π΅ ) β ( πΉ β π΄ ) β€ ( ( π΄ π· π΅ ) +π ( πΉ β π΅ ) ) ) ) |
37 |
15 18 22 28 33 35 36
|
syl33anc |
β’ ( π β ( ( ( πΉ β π΄ ) +π -π ( πΉ β π΅ ) ) β€ ( π΄ π· π΅ ) β ( πΉ β π΄ ) β€ ( ( π΄ π· π΅ ) +π ( πΉ β π΅ ) ) ) ) |
38 |
25 37
|
mpbird |
β’ ( π β ( ( πΉ β π΄ ) +π -π ( πΉ β π΅ ) ) β€ ( π΄ π· π΅ ) ) |
39 |
20 22 23 38 10
|
xrlelttrd |
β’ ( π β ( ( πΉ β π΄ ) +π -π ( πΉ β π΅ ) ) < π
) |