Theorem msrtri

Description: Reverse triangle inequality for the distance function of a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015)

	Ref	Expression
Hypotheses	mscl.x	⊢ 𝑋 = ( Base ‘ 𝑀 )
	mscl.d	⊢ 𝐷 = ( dist ‘ 𝑀 )
Assertion	msrtri	⊢ ( ( 𝑀 ∈ MetSp ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐴 𝐷 𝐶 ) − ( 𝐵 𝐷 𝐶 ) ) ) ≤ ( 𝐴 𝐷 𝐵 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mscl.x	⊢ 𝑋 = ( Base ‘ 𝑀 )
2		mscl.d	⊢ 𝐷 = ( dist ‘ 𝑀 )
3	1 2	msmet2	⊢ ( 𝑀 ∈ MetSp → ( 𝐷 ↾ ( 𝑋 × 𝑋 ) ) ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) )
4		metrtri	⊢ ( ( ( 𝐷 ↾ ( 𝑋 × 𝑋 ) ) ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐴 ( 𝐷 ↾ ( 𝑋 × 𝑋 ) ) 𝐶 ) − ( 𝐵 ( 𝐷 ↾ ( 𝑋 × 𝑋 ) ) 𝐶 ) ) ) ≤ ( 𝐴 ( 𝐷 ↾ ( 𝑋 × 𝑋 ) ) 𝐵 ) )
5	3 4	sylan	⊢ ( ( 𝑀 ∈ MetSp ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐴 ( 𝐷 ↾ ( 𝑋 × 𝑋 ) ) 𝐶 ) − ( 𝐵 ( 𝐷 ↾ ( 𝑋 × 𝑋 ) ) 𝐶 ) ) ) ≤ ( 𝐴 ( 𝐷 ↾ ( 𝑋 × 𝑋 ) ) 𝐵 ) )
6		simpr1	⊢ ( ( 𝑀 ∈ MetSp ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ) ) → 𝐴 ∈ 𝑋 )
7		simpr3	⊢ ( ( 𝑀 ∈ MetSp ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ) ) → 𝐶 ∈ 𝑋 )
8	6 7	ovresd	⊢ ( ( 𝑀 ∈ MetSp ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ) ) → ( 𝐴 ( 𝐷 ↾ ( 𝑋 × 𝑋 ) ) 𝐶 ) = ( 𝐴 𝐷 𝐶 ) )
9		simpr2	⊢ ( ( 𝑀 ∈ MetSp ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ) ) → 𝐵 ∈ 𝑋 )
10	9 7	ovresd	⊢ ( ( 𝑀 ∈ MetSp ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ) ) → ( 𝐵 ( 𝐷 ↾ ( 𝑋 × 𝑋 ) ) 𝐶 ) = ( 𝐵 𝐷 𝐶 ) )
11	8 10	oveq12d	⊢ ( ( 𝑀 ∈ MetSp ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ) ) → ( ( 𝐴 ( 𝐷 ↾ ( 𝑋 × 𝑋 ) ) 𝐶 ) − ( 𝐵 ( 𝐷 ↾ ( 𝑋 × 𝑋 ) ) 𝐶 ) ) = ( ( 𝐴 𝐷 𝐶 ) − ( 𝐵 𝐷 𝐶 ) ) )
12	11	fveq2d	⊢ ( ( 𝑀 ∈ MetSp ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐴 ( 𝐷 ↾ ( 𝑋 × 𝑋 ) ) 𝐶 ) − ( 𝐵 ( 𝐷 ↾ ( 𝑋 × 𝑋 ) ) 𝐶 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( 𝐴 𝐷 𝐶 ) − ( 𝐵 𝐷 𝐶 ) ) ) )
13	6 9	ovresd	⊢ ( ( 𝑀 ∈ MetSp ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ) ) → ( 𝐴 ( 𝐷 ↾ ( 𝑋 × 𝑋 ) ) 𝐵 ) = ( 𝐴 𝐷 𝐵 ) )
14	5 12 13	3brtr3d	⊢ ( ( 𝑀 ∈ MetSp ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐴 𝐷 𝐶 ) − ( 𝐵 𝐷 𝐶 ) ) ) ≤ ( 𝐴 𝐷 𝐵 ) )