Theorem mul31

Description: Commutative/associative law. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013)

	Ref	Expression
Assertion	mul31	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( ( 𝐴 · 𝐵 ) · 𝐶 ) = ( ( 𝐶 · 𝐵 ) · 𝐴 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulcom	⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( 𝐵 · 𝐶 ) = ( 𝐶 · 𝐵 ) )
2	1	oveq2d	⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( 𝐴 · ( 𝐵 · 𝐶 ) ) = ( 𝐴 · ( 𝐶 · 𝐵 ) ) )
3	2	3adant1	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( 𝐴 · ( 𝐵 · 𝐶 ) ) = ( 𝐴 · ( 𝐶 · 𝐵 ) ) )
4		mulass	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( ( 𝐴 · 𝐵 ) · 𝐶 ) = ( 𝐴 · ( 𝐵 · 𝐶 ) ) )
5		mulcl	⊢ ( ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( 𝐶 · 𝐵 ) ∈ ℂ )
6	5	ancoms	⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( 𝐶 · 𝐵 ) ∈ ℂ )
7	6	3adant1	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( 𝐶 · 𝐵 ) ∈ ℂ )
8		simp1	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → 𝐴 ∈ ℂ )
9	7 8	mulcomd	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( ( 𝐶 · 𝐵 ) · 𝐴 ) = ( 𝐴 · ( 𝐶 · 𝐵 ) ) )
10	3 4 9	3eqtr4d	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( ( 𝐴 · 𝐵 ) · 𝐶 ) = ( ( 𝐶 · 𝐵 ) · 𝐴 ) )