| Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
| 1 |
|
elfvex |
⊢ ( 𝐹 ∈ ( mzPoly ‘ 𝑉 ) → 𝑉 ∈ V ) |
| 2 |
1
|
3anim1i |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( mzPoly ‘ 𝑉 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ∧ 𝑌 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ( ( 𝑋 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑌 ‘ 𝑘 ) ) ) ) → ( 𝑉 ∈ V ∧ ( 𝑋 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ∧ 𝑌 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ( ( 𝑋 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑌 ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) |
| 3 |
|
simp1 |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( mzPoly ‘ 𝑉 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ∧ 𝑌 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ( ( 𝑋 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑌 ‘ 𝑘 ) ) ) ) → 𝐹 ∈ ( mzPoly ‘ 𝑉 ) ) |
| 4 |
|
simpl3l |
⊢ ( ( ( 𝑉 ∈ V ∧ ( 𝑋 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ∧ 𝑌 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ( ( 𝑋 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑌 ‘ 𝑘 ) ) ) ) ∧ 𝑏 ∈ ℤ ) → 𝑁 ∈ ℤ ) |
| 5 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝑉 ∈ V ∧ ( 𝑋 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ∧ 𝑌 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ( ( 𝑋 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑌 ‘ 𝑘 ) ) ) ) ∧ 𝑏 ∈ ℤ ) → 𝑏 ∈ ℤ ) |
| 6 |
|
congid |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ) → 𝑁 ∥ ( 𝑏 − 𝑏 ) ) |
| 7 |
4 5 6
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝑉 ∈ V ∧ ( 𝑋 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ∧ 𝑌 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ( ( 𝑋 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑌 ‘ 𝑘 ) ) ) ) ∧ 𝑏 ∈ ℤ ) → 𝑁 ∥ ( 𝑏 − 𝑏 ) ) |
| 8 |
|
simpl2l |
⊢ ( ( ( 𝑉 ∈ V ∧ ( 𝑋 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ∧ 𝑌 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ( ( 𝑋 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑌 ‘ 𝑘 ) ) ) ) ∧ 𝑏 ∈ ℤ ) → 𝑋 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ) |
| 9 |
|
vex |
⊢ 𝑏 ∈ V |
| 10 |
9
|
fvconst2 |
⊢ ( 𝑋 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) → ( ( ( ℤ ↑m 𝑉 ) × { 𝑏 } ) ‘ 𝑋 ) = 𝑏 ) |
| 11 |
8 10
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝑉 ∈ V ∧ ( 𝑋 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ∧ 𝑌 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ( ( 𝑋 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑌 ‘ 𝑘 ) ) ) ) ∧ 𝑏 ∈ ℤ ) → ( ( ( ℤ ↑m 𝑉 ) × { 𝑏 } ) ‘ 𝑋 ) = 𝑏 ) |
| 12 |
|
simpl2r |
⊢ ( ( ( 𝑉 ∈ V ∧ ( 𝑋 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ∧ 𝑌 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ( ( 𝑋 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑌 ‘ 𝑘 ) ) ) ) ∧ 𝑏 ∈ ℤ ) → 𝑌 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ) |
| 13 |
9
|
fvconst2 |
⊢ ( 𝑌 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) → ( ( ( ℤ ↑m 𝑉 ) × { 𝑏 } ) ‘ 𝑌 ) = 𝑏 ) |
| 14 |
12 13
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝑉 ∈ V ∧ ( 𝑋 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ∧ 𝑌 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ( ( 𝑋 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑌 ‘ 𝑘 ) ) ) ) ∧ 𝑏 ∈ ℤ ) → ( ( ( ℤ ↑m 𝑉 ) × { 𝑏 } ) ‘ 𝑌 ) = 𝑏 ) |
| 15 |
11 14
|
oveq12d |
⊢ ( ( ( 𝑉 ∈ V ∧ ( 𝑋 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ∧ 𝑌 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ( ( 𝑋 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑌 ‘ 𝑘 ) ) ) ) ∧ 𝑏 ∈ ℤ ) → ( ( ( ( ℤ ↑m 𝑉 ) × { 𝑏 } ) ‘ 𝑋 ) − ( ( ( ℤ ↑m 𝑉 ) × { 𝑏 } ) ‘ 𝑌 ) ) = ( 𝑏 − 𝑏 ) ) |
| 16 |
7 15
|
breqtrrd |
⊢ ( ( ( 𝑉 ∈ V ∧ ( 𝑋 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ∧ 𝑌 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ( ( 𝑋 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑌 ‘ 𝑘 ) ) ) ) ∧ 𝑏 ∈ ℤ ) → 𝑁 ∥ ( ( ( ( ℤ ↑m 𝑉 ) × { 𝑏 } ) ‘ 𝑋 ) − ( ( ( ℤ ↑m 𝑉 ) × { 𝑏 } ) ‘ 𝑌 ) ) ) |
| 17 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝑉 ∈ V ∧ ( 𝑋 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ∧ 𝑌 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ( ( 𝑋 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑌 ‘ 𝑘 ) ) ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ) → 𝑏 ∈ 𝑉 ) |
| 18 |
|
simpl3r |
⊢ ( ( ( 𝑉 ∈ V ∧ ( 𝑋 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ∧ 𝑌 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ( ( 𝑋 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑌 ‘ 𝑘 ) ) ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ) → ∀ 𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ( ( 𝑋 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑌 ‘ 𝑘 ) ) ) |
| 19 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑘 = 𝑏 → ( 𝑋 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑋 ‘ 𝑏 ) ) |
| 20 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑘 = 𝑏 → ( 𝑌 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑌 ‘ 𝑏 ) ) |
| 21 |
19 20
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑘 = 𝑏 → ( ( 𝑋 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑌 ‘ 𝑘 ) ) = ( ( 𝑋 ‘ 𝑏 ) − ( 𝑌 ‘ 𝑏 ) ) ) |
| 22 |
21
|
breq2d |
⊢ ( 𝑘 = 𝑏 → ( 𝑁 ∥ ( ( 𝑋 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑌 ‘ 𝑘 ) ) ↔ 𝑁 ∥ ( ( 𝑋 ‘ 𝑏 ) − ( 𝑌 ‘ 𝑏 ) ) ) ) |
| 23 |
22
|
rspcva |
⊢ ( ( 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ( ( 𝑋 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑌 ‘ 𝑘 ) ) ) → 𝑁 ∥ ( ( 𝑋 ‘ 𝑏 ) − ( 𝑌 ‘ 𝑏 ) ) ) |
| 24 |
17 18 23
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝑉 ∈ V ∧ ( 𝑋 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ∧ 𝑌 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ( ( 𝑋 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑌 ‘ 𝑘 ) ) ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ) → 𝑁 ∥ ( ( 𝑋 ‘ 𝑏 ) − ( 𝑌 ‘ 𝑏 ) ) ) |
| 25 |
|
simpl2l |
⊢ ( ( ( 𝑉 ∈ V ∧ ( 𝑋 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ∧ 𝑌 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ( ( 𝑋 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑌 ‘ 𝑘 ) ) ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ) → 𝑋 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ) |
| 26 |
|
fveq1 |
⊢ ( 𝑐 = 𝑋 → ( 𝑐 ‘ 𝑏 ) = ( 𝑋 ‘ 𝑏 ) ) |
| 27 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑐 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ↦ ( 𝑐 ‘ 𝑏 ) ) = ( 𝑐 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ↦ ( 𝑐 ‘ 𝑏 ) ) |
| 28 |
|
fvex |
⊢ ( 𝑋 ‘ 𝑏 ) ∈ V |
| 29 |
26 27 28
|
fvmpt |
⊢ ( 𝑋 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) → ( ( 𝑐 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ↦ ( 𝑐 ‘ 𝑏 ) ) ‘ 𝑋 ) = ( 𝑋 ‘ 𝑏 ) ) |
| 30 |
25 29
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝑉 ∈ V ∧ ( 𝑋 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ∧ 𝑌 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ( ( 𝑋 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑌 ‘ 𝑘 ) ) ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ) → ( ( 𝑐 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ↦ ( 𝑐 ‘ 𝑏 ) ) ‘ 𝑋 ) = ( 𝑋 ‘ 𝑏 ) ) |
| 31 |
|
simpl2r |
⊢ ( ( ( 𝑉 ∈ V ∧ ( 𝑋 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ∧ 𝑌 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ( ( 𝑋 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑌 ‘ 𝑘 ) ) ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ) → 𝑌 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ) |
| 32 |
|
fveq1 |
⊢ ( 𝑐 = 𝑌 → ( 𝑐 ‘ 𝑏 ) = ( 𝑌 ‘ 𝑏 ) ) |
| 33 |
|
fvex |
⊢ ( 𝑌 ‘ 𝑏 ) ∈ V |
| 34 |
32 27 33
|
fvmpt |
⊢ ( 𝑌 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) → ( ( 𝑐 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ↦ ( 𝑐 ‘ 𝑏 ) ) ‘ 𝑌 ) = ( 𝑌 ‘ 𝑏 ) ) |
| 35 |
31 34
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝑉 ∈ V ∧ ( 𝑋 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ∧ 𝑌 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ( ( 𝑋 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑌 ‘ 𝑘 ) ) ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ) → ( ( 𝑐 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ↦ ( 𝑐 ‘ 𝑏 ) ) ‘ 𝑌 ) = ( 𝑌 ‘ 𝑏 ) ) |
| 36 |
30 35
|
oveq12d |
⊢ ( ( ( 𝑉 ∈ V ∧ ( 𝑋 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ∧ 𝑌 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ( ( 𝑋 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑌 ‘ 𝑘 ) ) ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ) → ( ( ( 𝑐 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ↦ ( 𝑐 ‘ 𝑏 ) ) ‘ 𝑋 ) − ( ( 𝑐 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ↦ ( 𝑐 ‘ 𝑏 ) ) ‘ 𝑌 ) ) = ( ( 𝑋 ‘ 𝑏 ) − ( 𝑌 ‘ 𝑏 ) ) ) |
| 37 |
24 36
|
breqtrrd |
⊢ ( ( ( 𝑉 ∈ V ∧ ( 𝑋 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ∧ 𝑌 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ( ( 𝑋 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑌 ‘ 𝑘 ) ) ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ) → 𝑁 ∥ ( ( ( 𝑐 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ↦ ( 𝑐 ‘ 𝑏 ) ) ‘ 𝑋 ) − ( ( 𝑐 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ↦ ( 𝑐 ‘ 𝑏 ) ) ‘ 𝑌 ) ) ) |
| 38 |
|
simp13l |
⊢ ( ( ( 𝑉 ∈ V ∧ ( 𝑋 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ∧ 𝑌 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ( ( 𝑋 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑌 ‘ 𝑘 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 : ( ℤ ↑m 𝑉 ) ⟶ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ( ( 𝑏 ‘ 𝑋 ) − ( 𝑏 ‘ 𝑌 ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( ℤ ↑m 𝑉 ) ⟶ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ( ( 𝑐 ‘ 𝑋 ) − ( 𝑐 ‘ 𝑌 ) ) ) ) → 𝑁 ∈ ℤ ) |
| 39 |
|
simp2l |
⊢ ( ( ( 𝑉 ∈ V ∧ ( 𝑋 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ∧ 𝑌 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ( ( 𝑋 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑌 ‘ 𝑘 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 : ( ℤ ↑m 𝑉 ) ⟶ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ( ( 𝑏 ‘ 𝑋 ) − ( 𝑏 ‘ 𝑌 ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( ℤ ↑m 𝑉 ) ⟶ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ( ( 𝑐 ‘ 𝑋 ) − ( 𝑐 ‘ 𝑌 ) ) ) ) → 𝑏 : ( ℤ ↑m 𝑉 ) ⟶ ℤ ) |
| 40 |
|
simp12l |
⊢ ( ( ( 𝑉 ∈ V ∧ ( 𝑋 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ∧ 𝑌 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ( ( 𝑋 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑌 ‘ 𝑘 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 : ( ℤ ↑m 𝑉 ) ⟶ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ( ( 𝑏 ‘ 𝑋 ) − ( 𝑏 ‘ 𝑌 ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( ℤ ↑m 𝑉 ) ⟶ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ( ( 𝑐 ‘ 𝑋 ) − ( 𝑐 ‘ 𝑌 ) ) ) ) → 𝑋 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ) |
| 41 |
39 40
|
ffvelrnd |
⊢ ( ( ( 𝑉 ∈ V ∧ ( 𝑋 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ∧ 𝑌 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ( ( 𝑋 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑌 ‘ 𝑘 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 : ( ℤ ↑m 𝑉 ) ⟶ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ( ( 𝑏 ‘ 𝑋 ) − ( 𝑏 ‘ 𝑌 ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( ℤ ↑m 𝑉 ) ⟶ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ( ( 𝑐 ‘ 𝑋 ) − ( 𝑐 ‘ 𝑌 ) ) ) ) → ( 𝑏 ‘ 𝑋 ) ∈ ℤ ) |
| 42 |
|
simp12r |
⊢ ( ( ( 𝑉 ∈ V ∧ ( 𝑋 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ∧ 𝑌 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ( ( 𝑋 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑌 ‘ 𝑘 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 : ( ℤ ↑m 𝑉 ) ⟶ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ( ( 𝑏 ‘ 𝑋 ) − ( 𝑏 ‘ 𝑌 ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( ℤ ↑m 𝑉 ) ⟶ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ( ( 𝑐 ‘ 𝑋 ) − ( 𝑐 ‘ 𝑌 ) ) ) ) → 𝑌 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ) |
| 43 |
39 42
|
ffvelrnd |
⊢ ( ( ( 𝑉 ∈ V ∧ ( 𝑋 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ∧ 𝑌 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ( ( 𝑋 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑌 ‘ 𝑘 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 : ( ℤ ↑m 𝑉 ) ⟶ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ( ( 𝑏 ‘ 𝑋 ) − ( 𝑏 ‘ 𝑌 ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( ℤ ↑m 𝑉 ) ⟶ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ( ( 𝑐 ‘ 𝑋 ) − ( 𝑐 ‘ 𝑌 ) ) ) ) → ( 𝑏 ‘ 𝑌 ) ∈ ℤ ) |
| 44 |
|
simp3l |
⊢ ( ( ( 𝑉 ∈ V ∧ ( 𝑋 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ∧ 𝑌 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ( ( 𝑋 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑌 ‘ 𝑘 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 : ( ℤ ↑m 𝑉 ) ⟶ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ( ( 𝑏 ‘ 𝑋 ) − ( 𝑏 ‘ 𝑌 ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( ℤ ↑m 𝑉 ) ⟶ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ( ( 𝑐 ‘ 𝑋 ) − ( 𝑐 ‘ 𝑌 ) ) ) ) → 𝑐 : ( ℤ ↑m 𝑉 ) ⟶ ℤ ) |
| 45 |
44 40
|
ffvelrnd |
⊢ ( ( ( 𝑉 ∈ V ∧ ( 𝑋 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ∧ 𝑌 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ( ( 𝑋 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑌 ‘ 𝑘 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 : ( ℤ ↑m 𝑉 ) ⟶ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ( ( 𝑏 ‘ 𝑋 ) − ( 𝑏 ‘ 𝑌 ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( ℤ ↑m 𝑉 ) ⟶ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ( ( 𝑐 ‘ 𝑋 ) − ( 𝑐 ‘ 𝑌 ) ) ) ) → ( 𝑐 ‘ 𝑋 ) ∈ ℤ ) |
| 46 |
44 42
|
ffvelrnd |
⊢ ( ( ( 𝑉 ∈ V ∧ ( 𝑋 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ∧ 𝑌 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ( ( 𝑋 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑌 ‘ 𝑘 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 : ( ℤ ↑m 𝑉 ) ⟶ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ( ( 𝑏 ‘ 𝑋 ) − ( 𝑏 ‘ 𝑌 ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( ℤ ↑m 𝑉 ) ⟶ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ( ( 𝑐 ‘ 𝑋 ) − ( 𝑐 ‘ 𝑌 ) ) ) ) → ( 𝑐 ‘ 𝑌 ) ∈ ℤ ) |
| 47 |
|
simp2r |
⊢ ( ( ( 𝑉 ∈ V ∧ ( 𝑋 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ∧ 𝑌 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ( ( 𝑋 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑌 ‘ 𝑘 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 : ( ℤ ↑m 𝑉 ) ⟶ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ( ( 𝑏 ‘ 𝑋 ) − ( 𝑏 ‘ 𝑌 ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( ℤ ↑m 𝑉 ) ⟶ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ( ( 𝑐 ‘ 𝑋 ) − ( 𝑐 ‘ 𝑌 ) ) ) ) → 𝑁 ∥ ( ( 𝑏 ‘ 𝑋 ) − ( 𝑏 ‘ 𝑌 ) ) ) |
| 48 |
|
simp3r |
⊢ ( ( ( 𝑉 ∈ V ∧ ( 𝑋 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ∧ 𝑌 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ( ( 𝑋 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑌 ‘ 𝑘 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 : ( ℤ ↑m 𝑉 ) ⟶ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ( ( 𝑏 ‘ 𝑋 ) − ( 𝑏 ‘ 𝑌 ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( ℤ ↑m 𝑉 ) ⟶ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ( ( 𝑐 ‘ 𝑋 ) − ( 𝑐 ‘ 𝑌 ) ) ) ) → 𝑁 ∥ ( ( 𝑐 ‘ 𝑋 ) − ( 𝑐 ‘ 𝑌 ) ) ) |
| 49 |
|
congadd |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ ( 𝑏 ‘ 𝑋 ) ∈ ℤ ∧ ( 𝑏 ‘ 𝑌 ) ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑐 ‘ 𝑋 ) ∈ ℤ ∧ ( 𝑐 ‘ 𝑌 ) ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑁 ∥ ( ( 𝑏 ‘ 𝑋 ) − ( 𝑏 ‘ 𝑌 ) ) ∧ 𝑁 ∥ ( ( 𝑐 ‘ 𝑋 ) − ( 𝑐 ‘ 𝑌 ) ) ) ) → 𝑁 ∥ ( ( ( 𝑏 ‘ 𝑋 ) + ( 𝑐 ‘ 𝑋 ) ) − ( ( 𝑏 ‘ 𝑌 ) + ( 𝑐 ‘ 𝑌 ) ) ) ) |
| 50 |
38 41 43 45 46 47 48 49
|
syl322anc |
⊢ ( ( ( 𝑉 ∈ V ∧ ( 𝑋 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ∧ 𝑌 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ( ( 𝑋 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑌 ‘ 𝑘 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 : ( ℤ ↑m 𝑉 ) ⟶ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ( ( 𝑏 ‘ 𝑋 ) − ( 𝑏 ‘ 𝑌 ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( ℤ ↑m 𝑉 ) ⟶ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ( ( 𝑐 ‘ 𝑋 ) − ( 𝑐 ‘ 𝑌 ) ) ) ) → 𝑁 ∥ ( ( ( 𝑏 ‘ 𝑋 ) + ( 𝑐 ‘ 𝑋 ) ) − ( ( 𝑏 ‘ 𝑌 ) + ( 𝑐 ‘ 𝑌 ) ) ) ) |
| 51 |
39
|
ffnd |
⊢ ( ( ( 𝑉 ∈ V ∧ ( 𝑋 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ∧ 𝑌 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ( ( 𝑋 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑌 ‘ 𝑘 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 : ( ℤ ↑m 𝑉 ) ⟶ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ( ( 𝑏 ‘ 𝑋 ) − ( 𝑏 ‘ 𝑌 ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( ℤ ↑m 𝑉 ) ⟶ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ( ( 𝑐 ‘ 𝑋 ) − ( 𝑐 ‘ 𝑌 ) ) ) ) → 𝑏 Fn ( ℤ ↑m 𝑉 ) ) |
| 52 |
44
|
ffnd |
⊢ ( ( ( 𝑉 ∈ V ∧ ( 𝑋 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ∧ 𝑌 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ( ( 𝑋 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑌 ‘ 𝑘 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 : ( ℤ ↑m 𝑉 ) ⟶ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ( ( 𝑏 ‘ 𝑋 ) − ( 𝑏 ‘ 𝑌 ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( ℤ ↑m 𝑉 ) ⟶ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ( ( 𝑐 ‘ 𝑋 ) − ( 𝑐 ‘ 𝑌 ) ) ) ) → 𝑐 Fn ( ℤ ↑m 𝑉 ) ) |
| 53 |
|
ovexd |
⊢ ( ( ( 𝑉 ∈ V ∧ ( 𝑋 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ∧ 𝑌 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ( ( 𝑋 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑌 ‘ 𝑘 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 : ( ℤ ↑m 𝑉 ) ⟶ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ( ( 𝑏 ‘ 𝑋 ) − ( 𝑏 ‘ 𝑌 ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( ℤ ↑m 𝑉 ) ⟶ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ( ( 𝑐 ‘ 𝑋 ) − ( 𝑐 ‘ 𝑌 ) ) ) ) → ( ℤ ↑m 𝑉 ) ∈ V ) |
| 54 |
|
fnfvof |
⊢ ( ( ( 𝑏 Fn ( ℤ ↑m 𝑉 ) ∧ 𝑐 Fn ( ℤ ↑m 𝑉 ) ) ∧ ( ( ℤ ↑m 𝑉 ) ∈ V ∧ 𝑋 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ) ) → ( ( 𝑏 ∘f + 𝑐 ) ‘ 𝑋 ) = ( ( 𝑏 ‘ 𝑋 ) + ( 𝑐 ‘ 𝑋 ) ) ) |
| 55 |
51 52 53 40 54
|
syl22anc |
⊢ ( ( ( 𝑉 ∈ V ∧ ( 𝑋 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ∧ 𝑌 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ( ( 𝑋 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑌 ‘ 𝑘 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 : ( ℤ ↑m 𝑉 ) ⟶ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ( ( 𝑏 ‘ 𝑋 ) − ( 𝑏 ‘ 𝑌 ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( ℤ ↑m 𝑉 ) ⟶ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ( ( 𝑐 ‘ 𝑋 ) − ( 𝑐 ‘ 𝑌 ) ) ) ) → ( ( 𝑏 ∘f + 𝑐 ) ‘ 𝑋 ) = ( ( 𝑏 ‘ 𝑋 ) + ( 𝑐 ‘ 𝑋 ) ) ) |
| 56 |
|
fnfvof |
⊢ ( ( ( 𝑏 Fn ( ℤ ↑m 𝑉 ) ∧ 𝑐 Fn ( ℤ ↑m 𝑉 ) ) ∧ ( ( ℤ ↑m 𝑉 ) ∈ V ∧ 𝑌 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ) ) → ( ( 𝑏 ∘f + 𝑐 ) ‘ 𝑌 ) = ( ( 𝑏 ‘ 𝑌 ) + ( 𝑐 ‘ 𝑌 ) ) ) |
| 57 |
51 52 53 42 56
|
syl22anc |
⊢ ( ( ( 𝑉 ∈ V ∧ ( 𝑋 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ∧ 𝑌 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ( ( 𝑋 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑌 ‘ 𝑘 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 : ( ℤ ↑m 𝑉 ) ⟶ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ( ( 𝑏 ‘ 𝑋 ) − ( 𝑏 ‘ 𝑌 ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( ℤ ↑m 𝑉 ) ⟶ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ( ( 𝑐 ‘ 𝑋 ) − ( 𝑐 ‘ 𝑌 ) ) ) ) → ( ( 𝑏 ∘f + 𝑐 ) ‘ 𝑌 ) = ( ( 𝑏 ‘ 𝑌 ) + ( 𝑐 ‘ 𝑌 ) ) ) |
| 58 |
55 57
|
oveq12d |
⊢ ( ( ( 𝑉 ∈ V ∧ ( 𝑋 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ∧ 𝑌 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ( ( 𝑋 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑌 ‘ 𝑘 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 : ( ℤ ↑m 𝑉 ) ⟶ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ( ( 𝑏 ‘ 𝑋 ) − ( 𝑏 ‘ 𝑌 ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( ℤ ↑m 𝑉 ) ⟶ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ( ( 𝑐 ‘ 𝑋 ) − ( 𝑐 ‘ 𝑌 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑏 ∘f + 𝑐 ) ‘ 𝑋 ) − ( ( 𝑏 ∘f + 𝑐 ) ‘ 𝑌 ) ) = ( ( ( 𝑏 ‘ 𝑋 ) + ( 𝑐 ‘ 𝑋 ) ) − ( ( 𝑏 ‘ 𝑌 ) + ( 𝑐 ‘ 𝑌 ) ) ) ) |
| 59 |
50 58
|
breqtrrd |
⊢ ( ( ( 𝑉 ∈ V ∧ ( 𝑋 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ∧ 𝑌 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ( ( 𝑋 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑌 ‘ 𝑘 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 : ( ℤ ↑m 𝑉 ) ⟶ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ( ( 𝑏 ‘ 𝑋 ) − ( 𝑏 ‘ 𝑌 ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( ℤ ↑m 𝑉 ) ⟶ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ( ( 𝑐 ‘ 𝑋 ) − ( 𝑐 ‘ 𝑌 ) ) ) ) → 𝑁 ∥ ( ( ( 𝑏 ∘f + 𝑐 ) ‘ 𝑋 ) − ( ( 𝑏 ∘f + 𝑐 ) ‘ 𝑌 ) ) ) |
| 60 |
|
congmul |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ ( 𝑏 ‘ 𝑋 ) ∈ ℤ ∧ ( 𝑏 ‘ 𝑌 ) ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑐 ‘ 𝑋 ) ∈ ℤ ∧ ( 𝑐 ‘ 𝑌 ) ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑁 ∥ ( ( 𝑏 ‘ 𝑋 ) − ( 𝑏 ‘ 𝑌 ) ) ∧ 𝑁 ∥ ( ( 𝑐 ‘ 𝑋 ) − ( 𝑐 ‘ 𝑌 ) ) ) ) → 𝑁 ∥ ( ( ( 𝑏 ‘ 𝑋 ) · ( 𝑐 ‘ 𝑋 ) ) − ( ( 𝑏 ‘ 𝑌 ) · ( 𝑐 ‘ 𝑌 ) ) ) ) |
| 61 |
38 41 43 45 46 47 48 60
|
syl322anc |
⊢ ( ( ( 𝑉 ∈ V ∧ ( 𝑋 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ∧ 𝑌 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ( ( 𝑋 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑌 ‘ 𝑘 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 : ( ℤ ↑m 𝑉 ) ⟶ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ( ( 𝑏 ‘ 𝑋 ) − ( 𝑏 ‘ 𝑌 ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( ℤ ↑m 𝑉 ) ⟶ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ( ( 𝑐 ‘ 𝑋 ) − ( 𝑐 ‘ 𝑌 ) ) ) ) → 𝑁 ∥ ( ( ( 𝑏 ‘ 𝑋 ) · ( 𝑐 ‘ 𝑋 ) ) − ( ( 𝑏 ‘ 𝑌 ) · ( 𝑐 ‘ 𝑌 ) ) ) ) |
| 62 |
|
fnfvof |
⊢ ( ( ( 𝑏 Fn ( ℤ ↑m 𝑉 ) ∧ 𝑐 Fn ( ℤ ↑m 𝑉 ) ) ∧ ( ( ℤ ↑m 𝑉 ) ∈ V ∧ 𝑋 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ) ) → ( ( 𝑏 ∘f · 𝑐 ) ‘ 𝑋 ) = ( ( 𝑏 ‘ 𝑋 ) · ( 𝑐 ‘ 𝑋 ) ) ) |
| 63 |
51 52 53 40 62
|
syl22anc |
⊢ ( ( ( 𝑉 ∈ V ∧ ( 𝑋 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ∧ 𝑌 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ( ( 𝑋 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑌 ‘ 𝑘 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 : ( ℤ ↑m 𝑉 ) ⟶ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ( ( 𝑏 ‘ 𝑋 ) − ( 𝑏 ‘ 𝑌 ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( ℤ ↑m 𝑉 ) ⟶ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ( ( 𝑐 ‘ 𝑋 ) − ( 𝑐 ‘ 𝑌 ) ) ) ) → ( ( 𝑏 ∘f · 𝑐 ) ‘ 𝑋 ) = ( ( 𝑏 ‘ 𝑋 ) · ( 𝑐 ‘ 𝑋 ) ) ) |
| 64 |
|
fnfvof |
⊢ ( ( ( 𝑏 Fn ( ℤ ↑m 𝑉 ) ∧ 𝑐 Fn ( ℤ ↑m 𝑉 ) ) ∧ ( ( ℤ ↑m 𝑉 ) ∈ V ∧ 𝑌 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ) ) → ( ( 𝑏 ∘f · 𝑐 ) ‘ 𝑌 ) = ( ( 𝑏 ‘ 𝑌 ) · ( 𝑐 ‘ 𝑌 ) ) ) |
| 65 |
51 52 53 42 64
|
syl22anc |
⊢ ( ( ( 𝑉 ∈ V ∧ ( 𝑋 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ∧ 𝑌 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ( ( 𝑋 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑌 ‘ 𝑘 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 : ( ℤ ↑m 𝑉 ) ⟶ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ( ( 𝑏 ‘ 𝑋 ) − ( 𝑏 ‘ 𝑌 ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( ℤ ↑m 𝑉 ) ⟶ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ( ( 𝑐 ‘ 𝑋 ) − ( 𝑐 ‘ 𝑌 ) ) ) ) → ( ( 𝑏 ∘f · 𝑐 ) ‘ 𝑌 ) = ( ( 𝑏 ‘ 𝑌 ) · ( 𝑐 ‘ 𝑌 ) ) ) |
| 66 |
63 65
|
oveq12d |
⊢ ( ( ( 𝑉 ∈ V ∧ ( 𝑋 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ∧ 𝑌 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ( ( 𝑋 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑌 ‘ 𝑘 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 : ( ℤ ↑m 𝑉 ) ⟶ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ( ( 𝑏 ‘ 𝑋 ) − ( 𝑏 ‘ 𝑌 ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( ℤ ↑m 𝑉 ) ⟶ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ( ( 𝑐 ‘ 𝑋 ) − ( 𝑐 ‘ 𝑌 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑏 ∘f · 𝑐 ) ‘ 𝑋 ) − ( ( 𝑏 ∘f · 𝑐 ) ‘ 𝑌 ) ) = ( ( ( 𝑏 ‘ 𝑋 ) · ( 𝑐 ‘ 𝑋 ) ) − ( ( 𝑏 ‘ 𝑌 ) · ( 𝑐 ‘ 𝑌 ) ) ) ) |
| 67 |
61 66
|
breqtrrd |
⊢ ( ( ( 𝑉 ∈ V ∧ ( 𝑋 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ∧ 𝑌 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ( ( 𝑋 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑌 ‘ 𝑘 ) ) ) ) ∧ ( 𝑏 : ( ℤ ↑m 𝑉 ) ⟶ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ( ( 𝑏 ‘ 𝑋 ) − ( 𝑏 ‘ 𝑌 ) ) ) ∧ ( 𝑐 : ( ℤ ↑m 𝑉 ) ⟶ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ( ( 𝑐 ‘ 𝑋 ) − ( 𝑐 ‘ 𝑌 ) ) ) ) → 𝑁 ∥ ( ( ( 𝑏 ∘f · 𝑐 ) ‘ 𝑋 ) − ( ( 𝑏 ∘f · 𝑐 ) ‘ 𝑌 ) ) ) |
| 68 |
|
fveq1 |
⊢ ( 𝑎 = ( ( ℤ ↑m 𝑉 ) × { 𝑏 } ) → ( 𝑎 ‘ 𝑋 ) = ( ( ( ℤ ↑m 𝑉 ) × { 𝑏 } ) ‘ 𝑋 ) ) |
| 69 |
|
fveq1 |
⊢ ( 𝑎 = ( ( ℤ ↑m 𝑉 ) × { 𝑏 } ) → ( 𝑎 ‘ 𝑌 ) = ( ( ( ℤ ↑m 𝑉 ) × { 𝑏 } ) ‘ 𝑌 ) ) |
| 70 |
68 69
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑎 = ( ( ℤ ↑m 𝑉 ) × { 𝑏 } ) → ( ( 𝑎 ‘ 𝑋 ) − ( 𝑎 ‘ 𝑌 ) ) = ( ( ( ( ℤ ↑m 𝑉 ) × { 𝑏 } ) ‘ 𝑋 ) − ( ( ( ℤ ↑m 𝑉 ) × { 𝑏 } ) ‘ 𝑌 ) ) ) |
| 71 |
70
|
breq2d |
⊢ ( 𝑎 = ( ( ℤ ↑m 𝑉 ) × { 𝑏 } ) → ( 𝑁 ∥ ( ( 𝑎 ‘ 𝑋 ) − ( 𝑎 ‘ 𝑌 ) ) ↔ 𝑁 ∥ ( ( ( ( ℤ ↑m 𝑉 ) × { 𝑏 } ) ‘ 𝑋 ) − ( ( ( ℤ ↑m 𝑉 ) × { 𝑏 } ) ‘ 𝑌 ) ) ) ) |
| 72 |
|
fveq1 |
⊢ ( 𝑎 = ( 𝑐 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ↦ ( 𝑐 ‘ 𝑏 ) ) → ( 𝑎 ‘ 𝑋 ) = ( ( 𝑐 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ↦ ( 𝑐 ‘ 𝑏 ) ) ‘ 𝑋 ) ) |
| 73 |
|
fveq1 |
⊢ ( 𝑎 = ( 𝑐 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ↦ ( 𝑐 ‘ 𝑏 ) ) → ( 𝑎 ‘ 𝑌 ) = ( ( 𝑐 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ↦ ( 𝑐 ‘ 𝑏 ) ) ‘ 𝑌 ) ) |
| 74 |
72 73
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑎 = ( 𝑐 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ↦ ( 𝑐 ‘ 𝑏 ) ) → ( ( 𝑎 ‘ 𝑋 ) − ( 𝑎 ‘ 𝑌 ) ) = ( ( ( 𝑐 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ↦ ( 𝑐 ‘ 𝑏 ) ) ‘ 𝑋 ) − ( ( 𝑐 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ↦ ( 𝑐 ‘ 𝑏 ) ) ‘ 𝑌 ) ) ) |
| 75 |
74
|
breq2d |
⊢ ( 𝑎 = ( 𝑐 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ↦ ( 𝑐 ‘ 𝑏 ) ) → ( 𝑁 ∥ ( ( 𝑎 ‘ 𝑋 ) − ( 𝑎 ‘ 𝑌 ) ) ↔ 𝑁 ∥ ( ( ( 𝑐 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ↦ ( 𝑐 ‘ 𝑏 ) ) ‘ 𝑋 ) − ( ( 𝑐 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ↦ ( 𝑐 ‘ 𝑏 ) ) ‘ 𝑌 ) ) ) ) |
| 76 |
|
fveq1 |
⊢ ( 𝑎 = 𝑏 → ( 𝑎 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑏 ‘ 𝑋 ) ) |
| 77 |
|
fveq1 |
⊢ ( 𝑎 = 𝑏 → ( 𝑎 ‘ 𝑌 ) = ( 𝑏 ‘ 𝑌 ) ) |
| 78 |
76 77
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑎 = 𝑏 → ( ( 𝑎 ‘ 𝑋 ) − ( 𝑎 ‘ 𝑌 ) ) = ( ( 𝑏 ‘ 𝑋 ) − ( 𝑏 ‘ 𝑌 ) ) ) |
| 79 |
78
|
breq2d |
⊢ ( 𝑎 = 𝑏 → ( 𝑁 ∥ ( ( 𝑎 ‘ 𝑋 ) − ( 𝑎 ‘ 𝑌 ) ) ↔ 𝑁 ∥ ( ( 𝑏 ‘ 𝑋 ) − ( 𝑏 ‘ 𝑌 ) ) ) ) |
| 80 |
|
fveq1 |
⊢ ( 𝑎 = 𝑐 → ( 𝑎 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑐 ‘ 𝑋 ) ) |
| 81 |
|
fveq1 |
⊢ ( 𝑎 = 𝑐 → ( 𝑎 ‘ 𝑌 ) = ( 𝑐 ‘ 𝑌 ) ) |
| 82 |
80 81
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑎 = 𝑐 → ( ( 𝑎 ‘ 𝑋 ) − ( 𝑎 ‘ 𝑌 ) ) = ( ( 𝑐 ‘ 𝑋 ) − ( 𝑐 ‘ 𝑌 ) ) ) |
| 83 |
82
|
breq2d |
⊢ ( 𝑎 = 𝑐 → ( 𝑁 ∥ ( ( 𝑎 ‘ 𝑋 ) − ( 𝑎 ‘ 𝑌 ) ) ↔ 𝑁 ∥ ( ( 𝑐 ‘ 𝑋 ) − ( 𝑐 ‘ 𝑌 ) ) ) ) |
| 84 |
|
fveq1 |
⊢ ( 𝑎 = ( 𝑏 ∘f + 𝑐 ) → ( 𝑎 ‘ 𝑋 ) = ( ( 𝑏 ∘f + 𝑐 ) ‘ 𝑋 ) ) |
| 85 |
|
fveq1 |
⊢ ( 𝑎 = ( 𝑏 ∘f + 𝑐 ) → ( 𝑎 ‘ 𝑌 ) = ( ( 𝑏 ∘f + 𝑐 ) ‘ 𝑌 ) ) |
| 86 |
84 85
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑎 = ( 𝑏 ∘f + 𝑐 ) → ( ( 𝑎 ‘ 𝑋 ) − ( 𝑎 ‘ 𝑌 ) ) = ( ( ( 𝑏 ∘f + 𝑐 ) ‘ 𝑋 ) − ( ( 𝑏 ∘f + 𝑐 ) ‘ 𝑌 ) ) ) |
| 87 |
86
|
breq2d |
⊢ ( 𝑎 = ( 𝑏 ∘f + 𝑐 ) → ( 𝑁 ∥ ( ( 𝑎 ‘ 𝑋 ) − ( 𝑎 ‘ 𝑌 ) ) ↔ 𝑁 ∥ ( ( ( 𝑏 ∘f + 𝑐 ) ‘ 𝑋 ) − ( ( 𝑏 ∘f + 𝑐 ) ‘ 𝑌 ) ) ) ) |
| 88 |
|
fveq1 |
⊢ ( 𝑎 = ( 𝑏 ∘f · 𝑐 ) → ( 𝑎 ‘ 𝑋 ) = ( ( 𝑏 ∘f · 𝑐 ) ‘ 𝑋 ) ) |
| 89 |
|
fveq1 |
⊢ ( 𝑎 = ( 𝑏 ∘f · 𝑐 ) → ( 𝑎 ‘ 𝑌 ) = ( ( 𝑏 ∘f · 𝑐 ) ‘ 𝑌 ) ) |
| 90 |
88 89
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑎 = ( 𝑏 ∘f · 𝑐 ) → ( ( 𝑎 ‘ 𝑋 ) − ( 𝑎 ‘ 𝑌 ) ) = ( ( ( 𝑏 ∘f · 𝑐 ) ‘ 𝑋 ) − ( ( 𝑏 ∘f · 𝑐 ) ‘ 𝑌 ) ) ) |
| 91 |
90
|
breq2d |
⊢ ( 𝑎 = ( 𝑏 ∘f · 𝑐 ) → ( 𝑁 ∥ ( ( 𝑎 ‘ 𝑋 ) − ( 𝑎 ‘ 𝑌 ) ) ↔ 𝑁 ∥ ( ( ( 𝑏 ∘f · 𝑐 ) ‘ 𝑋 ) − ( ( 𝑏 ∘f · 𝑐 ) ‘ 𝑌 ) ) ) ) |
| 92 |
|
fveq1 |
⊢ ( 𝑎 = 𝐹 → ( 𝑎 ‘ 𝑋 ) = ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) |
| 93 |
|
fveq1 |
⊢ ( 𝑎 = 𝐹 → ( 𝑎 ‘ 𝑌 ) = ( 𝐹 ‘ 𝑌 ) ) |
| 94 |
92 93
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑎 = 𝐹 → ( ( 𝑎 ‘ 𝑋 ) − ( 𝑎 ‘ 𝑌 ) ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑌 ) ) ) |
| 95 |
94
|
breq2d |
⊢ ( 𝑎 = 𝐹 → ( 𝑁 ∥ ( ( 𝑎 ‘ 𝑋 ) − ( 𝑎 ‘ 𝑌 ) ) ↔ 𝑁 ∥ ( ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑌 ) ) ) ) |
| 96 |
16 37 59 67 71 75 79 83 87 91 95
|
mzpindd |
⊢ ( ( ( 𝑉 ∈ V ∧ ( 𝑋 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ∧ 𝑌 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ( ( 𝑋 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑌 ‘ 𝑘 ) ) ) ) ∧ 𝐹 ∈ ( mzPoly ‘ 𝑉 ) ) → 𝑁 ∥ ( ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑌 ) ) ) |
| 97 |
2 3 96
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( mzPoly ‘ 𝑉 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ∧ 𝑌 ∈ ( ℤ ↑m 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝑉 𝑁 ∥ ( ( 𝑋 ‘ 𝑘 ) − ( 𝑌 ‘ 𝑘 ) ) ) ) → 𝑁 ∥ ( ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑌 ) ) ) |