Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
nlmdsdi.v |
⊢ 𝑉 = ( Base ‘ 𝑊 ) |
2 |
|
nlmdsdi.s |
⊢ · = ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) |
3 |
|
nlmdsdi.f |
⊢ 𝐹 = ( Scalar ‘ 𝑊 ) |
4 |
|
nlmdsdi.k |
⊢ 𝐾 = ( Base ‘ 𝐹 ) |
5 |
|
nlmdsdi.d |
⊢ 𝐷 = ( dist ‘ 𝑊 ) |
6 |
|
nlmdsdir.n |
⊢ 𝑁 = ( norm ‘ 𝑊 ) |
7 |
|
nlmdsdir.e |
⊢ 𝐸 = ( dist ‘ 𝐹 ) |
8 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ NrmMod ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) ) → 𝑊 ∈ NrmMod ) |
9 |
3
|
nlmngp2 |
⊢ ( 𝑊 ∈ NrmMod → 𝐹 ∈ NrmGrp ) |
10 |
9
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ NrmMod ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) ) → 𝐹 ∈ NrmGrp ) |
11 |
|
ngpgrp |
⊢ ( 𝐹 ∈ NrmGrp → 𝐹 ∈ Grp ) |
12 |
10 11
|
syl |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ NrmMod ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) ) → 𝐹 ∈ Grp ) |
13 |
|
simpr1 |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ NrmMod ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) ) → 𝑋 ∈ 𝐾 ) |
14 |
|
simpr2 |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ NrmMod ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) ) → 𝑌 ∈ 𝐾 ) |
15 |
|
eqid |
⊢ ( -g ‘ 𝐹 ) = ( -g ‘ 𝐹 ) |
16 |
4 15
|
grpsubcl |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ) → ( 𝑋 ( -g ‘ 𝐹 ) 𝑌 ) ∈ 𝐾 ) |
17 |
12 13 14 16
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ NrmMod ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) ) → ( 𝑋 ( -g ‘ 𝐹 ) 𝑌 ) ∈ 𝐾 ) |
18 |
|
simpr3 |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ NrmMod ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) ) → 𝑍 ∈ 𝑉 ) |
19 |
|
eqid |
⊢ ( norm ‘ 𝐹 ) = ( norm ‘ 𝐹 ) |
20 |
1 6 2 3 4 19
|
nmvs |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ NrmMod ∧ ( 𝑋 ( -g ‘ 𝐹 ) 𝑌 ) ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) → ( 𝑁 ‘ ( ( 𝑋 ( -g ‘ 𝐹 ) 𝑌 ) · 𝑍 ) ) = ( ( ( norm ‘ 𝐹 ) ‘ ( 𝑋 ( -g ‘ 𝐹 ) 𝑌 ) ) · ( 𝑁 ‘ 𝑍 ) ) ) |
21 |
8 17 18 20
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ NrmMod ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) ) → ( 𝑁 ‘ ( ( 𝑋 ( -g ‘ 𝐹 ) 𝑌 ) · 𝑍 ) ) = ( ( ( norm ‘ 𝐹 ) ‘ ( 𝑋 ( -g ‘ 𝐹 ) 𝑌 ) ) · ( 𝑁 ‘ 𝑍 ) ) ) |
22 |
|
eqid |
⊢ ( -g ‘ 𝑊 ) = ( -g ‘ 𝑊 ) |
23 |
|
nlmlmod |
⊢ ( 𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ LMod ) |
24 |
23
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ NrmMod ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) ) → 𝑊 ∈ LMod ) |
25 |
1 2 3 4 22 15 24 13 14 18
|
lmodsubdir |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ NrmMod ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) ) → ( ( 𝑋 ( -g ‘ 𝐹 ) 𝑌 ) · 𝑍 ) = ( ( 𝑋 · 𝑍 ) ( -g ‘ 𝑊 ) ( 𝑌 · 𝑍 ) ) ) |
26 |
25
|
fveq2d |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ NrmMod ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) ) → ( 𝑁 ‘ ( ( 𝑋 ( -g ‘ 𝐹 ) 𝑌 ) · 𝑍 ) ) = ( 𝑁 ‘ ( ( 𝑋 · 𝑍 ) ( -g ‘ 𝑊 ) ( 𝑌 · 𝑍 ) ) ) ) |
27 |
21 26
|
eqtr3d |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ NrmMod ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) ) → ( ( ( norm ‘ 𝐹 ) ‘ ( 𝑋 ( -g ‘ 𝐹 ) 𝑌 ) ) · ( 𝑁 ‘ 𝑍 ) ) = ( 𝑁 ‘ ( ( 𝑋 · 𝑍 ) ( -g ‘ 𝑊 ) ( 𝑌 · 𝑍 ) ) ) ) |
28 |
19 4 15 7
|
ngpds |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ) → ( 𝑋 𝐸 𝑌 ) = ( ( norm ‘ 𝐹 ) ‘ ( 𝑋 ( -g ‘ 𝐹 ) 𝑌 ) ) ) |
29 |
10 13 14 28
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ NrmMod ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) ) → ( 𝑋 𝐸 𝑌 ) = ( ( norm ‘ 𝐹 ) ‘ ( 𝑋 ( -g ‘ 𝐹 ) 𝑌 ) ) ) |
30 |
29
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ NrmMod ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) ) → ( ( 𝑋 𝐸 𝑌 ) · ( 𝑁 ‘ 𝑍 ) ) = ( ( ( norm ‘ 𝐹 ) ‘ ( 𝑋 ( -g ‘ 𝐹 ) 𝑌 ) ) · ( 𝑁 ‘ 𝑍 ) ) ) |
31 |
|
nlmngp |
⊢ ( 𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp ) |
32 |
31
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ NrmMod ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) ) → 𝑊 ∈ NrmGrp ) |
33 |
1 3 2 4
|
lmodvscl |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) → ( 𝑋 · 𝑍 ) ∈ 𝑉 ) |
34 |
24 13 18 33
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ NrmMod ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) ) → ( 𝑋 · 𝑍 ) ∈ 𝑉 ) |
35 |
1 3 2 4
|
lmodvscl |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) → ( 𝑌 · 𝑍 ) ∈ 𝑉 ) |
36 |
24 14 18 35
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ NrmMod ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) ) → ( 𝑌 · 𝑍 ) ∈ 𝑉 ) |
37 |
6 1 22 5
|
ngpds |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ( 𝑋 · 𝑍 ) ∈ 𝑉 ∧ ( 𝑌 · 𝑍 ) ∈ 𝑉 ) → ( ( 𝑋 · 𝑍 ) 𝐷 ( 𝑌 · 𝑍 ) ) = ( 𝑁 ‘ ( ( 𝑋 · 𝑍 ) ( -g ‘ 𝑊 ) ( 𝑌 · 𝑍 ) ) ) ) |
38 |
32 34 36 37
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ NrmMod ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) ) → ( ( 𝑋 · 𝑍 ) 𝐷 ( 𝑌 · 𝑍 ) ) = ( 𝑁 ‘ ( ( 𝑋 · 𝑍 ) ( -g ‘ 𝑊 ) ( 𝑌 · 𝑍 ) ) ) ) |
39 |
27 30 38
|
3eqtr4d |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ NrmMod ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) ) → ( ( 𝑋 𝐸 𝑌 ) · ( 𝑁 ‘ 𝑍 ) ) = ( ( 𝑋 · 𝑍 ) 𝐷 ( 𝑌 · 𝑍 ) ) ) |