Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
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preq12bg |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ) ∧ ( 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌 ) ) → ( { 𝐴 , 𝐵 } = { 𝐶 , 𝐷 } ↔ ( ( 𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷 ) ∨ ( 𝐴 = 𝐷 ∧ 𝐵 = 𝐶 ) ) ) ) |
2 |
|
opthg |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ) → ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 = 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ↔ ( 𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷 ) ) ) |
3 |
2
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ) ∧ ( 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌 ) ) → ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 = 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ↔ ( 𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷 ) ) ) |
4 |
|
opthg |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ) → ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 = 〈 𝐷 , 𝐶 〉 ↔ ( 𝐴 = 𝐷 ∧ 𝐵 = 𝐶 ) ) ) |
5 |
4
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ) ∧ ( 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌 ) ) → ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 = 〈 𝐷 , 𝐶 〉 ↔ ( 𝐴 = 𝐷 ∧ 𝐵 = 𝐶 ) ) ) |
6 |
3 5
|
orbi12d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ) ∧ ( 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌 ) ) → ( ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 = 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ∨ 〈 𝐴 , 𝐵 〉 = 〈 𝐷 , 𝐶 〉 ) ↔ ( ( 𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷 ) ∨ ( 𝐴 = 𝐷 ∧ 𝐵 = 𝐶 ) ) ) ) |
7 |
1 6
|
bitr4d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ) ∧ ( 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌 ) ) → ( { 𝐴 , 𝐵 } = { 𝐶 , 𝐷 } ↔ ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 = 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ∨ 〈 𝐴 , 𝐵 〉 = 〈 𝐷 , 𝐶 〉 ) ) ) |