Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
opthreg.1 |
⊢ 𝐴 ∈ V |
2 |
|
opthreg.2 |
⊢ 𝐵 ∈ V |
3 |
|
opthreg.3 |
⊢ 𝐶 ∈ V |
4 |
|
opthreg.4 |
⊢ 𝐷 ∈ V |
5 |
1
|
prid1 |
⊢ 𝐴 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } |
6 |
3
|
prid1 |
⊢ 𝐶 ∈ { 𝐶 , 𝐷 } |
7 |
|
prex |
⊢ { 𝐴 , 𝐵 } ∈ V |
8 |
7
|
preleq |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } ∧ 𝐶 ∈ { 𝐶 , 𝐷 } ) ∧ { 𝐴 , { 𝐴 , 𝐵 } } = { 𝐶 , { 𝐶 , 𝐷 } } ) → ( 𝐴 = 𝐶 ∧ { 𝐴 , 𝐵 } = { 𝐶 , 𝐷 } ) ) |
9 |
5 6 8
|
mpanl12 |
⊢ ( { 𝐴 , { 𝐴 , 𝐵 } } = { 𝐶 , { 𝐶 , 𝐷 } } → ( 𝐴 = 𝐶 ∧ { 𝐴 , 𝐵 } = { 𝐶 , 𝐷 } ) ) |
10 |
|
preq1 |
⊢ ( 𝐴 = 𝐶 → { 𝐴 , 𝐵 } = { 𝐶 , 𝐵 } ) |
11 |
10
|
eqeq1d |
⊢ ( 𝐴 = 𝐶 → ( { 𝐴 , 𝐵 } = { 𝐶 , 𝐷 } ↔ { 𝐶 , 𝐵 } = { 𝐶 , 𝐷 } ) ) |
12 |
2 4
|
preqr2 |
⊢ ( { 𝐶 , 𝐵 } = { 𝐶 , 𝐷 } → 𝐵 = 𝐷 ) |
13 |
11 12
|
syl6bi |
⊢ ( 𝐴 = 𝐶 → ( { 𝐴 , 𝐵 } = { 𝐶 , 𝐷 } → 𝐵 = 𝐷 ) ) |
14 |
13
|
imdistani |
⊢ ( ( 𝐴 = 𝐶 ∧ { 𝐴 , 𝐵 } = { 𝐶 , 𝐷 } ) → ( 𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷 ) ) |
15 |
9 14
|
syl |
⊢ ( { 𝐴 , { 𝐴 , 𝐵 } } = { 𝐶 , { 𝐶 , 𝐷 } } → ( 𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷 ) ) |
16 |
|
preq1 |
⊢ ( 𝐴 = 𝐶 → { 𝐴 , { 𝐴 , 𝐵 } } = { 𝐶 , { 𝐴 , 𝐵 } } ) |
17 |
16
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷 ) → { 𝐴 , { 𝐴 , 𝐵 } } = { 𝐶 , { 𝐴 , 𝐵 } } ) |
18 |
|
preq12 |
⊢ ( ( 𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷 ) → { 𝐴 , 𝐵 } = { 𝐶 , 𝐷 } ) |
19 |
18
|
preq2d |
⊢ ( ( 𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷 ) → { 𝐶 , { 𝐴 , 𝐵 } } = { 𝐶 , { 𝐶 , 𝐷 } } ) |
20 |
17 19
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷 ) → { 𝐴 , { 𝐴 , 𝐵 } } = { 𝐶 , { 𝐶 , 𝐷 } } ) |
21 |
15 20
|
impbii |
⊢ ( { 𝐴 , { 𝐴 , 𝐵 } } = { 𝐶 , { 𝐶 , 𝐷 } } ↔ ( 𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷 ) ) |