Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
eleq1 |
⊢ ( 𝑁 = if ( 𝑁 ∈ ℤ , 𝑁 , 1 ) → ( 𝑁 ∈ 𝐴 ↔ if ( 𝑁 ∈ ℤ , 𝑁 , 1 ) ∈ 𝐴 ) ) |
2 |
1
|
anbi1d |
⊢ ( 𝑁 = if ( 𝑁 ∈ ℤ , 𝑁 , 1 ) → ( ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝑥 + 1 ) ∈ 𝐴 ) ↔ ( if ( 𝑁 ∈ ℤ , 𝑁 , 1 ) ∈ 𝐴 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝑥 + 1 ) ∈ 𝐴 ) ) ) |
3 |
|
breq1 |
⊢ ( 𝑁 = if ( 𝑁 ∈ ℤ , 𝑁 , 1 ) → ( 𝑁 ≤ 𝑘 ↔ if ( 𝑁 ∈ ℤ , 𝑁 , 1 ) ≤ 𝑘 ) ) |
4 |
3
|
rabbidv |
⊢ ( 𝑁 = if ( 𝑁 ∈ ℤ , 𝑁 , 1 ) → { 𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑘 } = { 𝑘 ∈ ℤ ∣ if ( 𝑁 ∈ ℤ , 𝑁 , 1 ) ≤ 𝑘 } ) |
5 |
4
|
sseq1d |
⊢ ( 𝑁 = if ( 𝑁 ∈ ℤ , 𝑁 , 1 ) → ( { 𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑘 } ⊆ 𝐴 ↔ { 𝑘 ∈ ℤ ∣ if ( 𝑁 ∈ ℤ , 𝑁 , 1 ) ≤ 𝑘 } ⊆ 𝐴 ) ) |
6 |
2 5
|
imbi12d |
⊢ ( 𝑁 = if ( 𝑁 ∈ ℤ , 𝑁 , 1 ) → ( ( ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝑥 + 1 ) ∈ 𝐴 ) → { 𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑘 } ⊆ 𝐴 ) ↔ ( ( if ( 𝑁 ∈ ℤ , 𝑁 , 1 ) ∈ 𝐴 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝑥 + 1 ) ∈ 𝐴 ) → { 𝑘 ∈ ℤ ∣ if ( 𝑁 ∈ ℤ , 𝑁 , 1 ) ≤ 𝑘 } ⊆ 𝐴 ) ) ) |
7 |
|
1z |
⊢ 1 ∈ ℤ |
8 |
7
|
elimel |
⊢ if ( 𝑁 ∈ ℤ , 𝑁 , 1 ) ∈ ℤ |
9 |
8
|
peano5uzi |
⊢ ( ( if ( 𝑁 ∈ ℤ , 𝑁 , 1 ) ∈ 𝐴 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝑥 + 1 ) ∈ 𝐴 ) → { 𝑘 ∈ ℤ ∣ if ( 𝑁 ∈ ℤ , 𝑁 , 1 ) ≤ 𝑘 } ⊆ 𝐴 ) |
10 |
6 9
|
dedth |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → ( ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝑥 + 1 ) ∈ 𝐴 ) → { 𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑘 } ⊆ 𝐴 ) ) |