Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
peano5uzi.1 |
⊢ 𝑁 ∈ ℤ |
2 |
|
breq2 |
⊢ ( 𝑘 = 𝑛 → ( 𝑁 ≤ 𝑘 ↔ 𝑁 ≤ 𝑛 ) ) |
3 |
2
|
elrab |
⊢ ( 𝑛 ∈ { 𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑘 } ↔ ( 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑛 ) ) |
4 |
|
zcn |
⊢ ( 𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ ) |
5 |
4
|
ad2antrl |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝑥 + 1 ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑛 ) ) → 𝑛 ∈ ℂ ) |
6 |
|
zcn |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ ) |
7 |
1 6
|
ax-mp |
⊢ 𝑁 ∈ ℂ |
8 |
|
ax-1cn |
⊢ 1 ∈ ℂ |
9 |
7 8
|
subcli |
⊢ ( 𝑁 − 1 ) ∈ ℂ |
10 |
|
npcan |
⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℂ ∧ ( 𝑁 − 1 ) ∈ ℂ ) → ( ( 𝑛 − ( 𝑁 − 1 ) ) + ( 𝑁 − 1 ) ) = 𝑛 ) |
11 |
5 9 10
|
sylancl |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝑥 + 1 ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑛 ) ) → ( ( 𝑛 − ( 𝑁 − 1 ) ) + ( 𝑁 − 1 ) ) = 𝑛 ) |
12 |
|
subsub |
⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ) → ( 𝑛 − ( 𝑁 − 1 ) ) = ( ( 𝑛 − 𝑁 ) + 1 ) ) |
13 |
7 8 12
|
mp3an23 |
⊢ ( 𝑛 ∈ ℂ → ( 𝑛 − ( 𝑁 − 1 ) ) = ( ( 𝑛 − 𝑁 ) + 1 ) ) |
14 |
5 13
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝑥 + 1 ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑛 ) ) → ( 𝑛 − ( 𝑁 − 1 ) ) = ( ( 𝑛 − 𝑁 ) + 1 ) ) |
15 |
|
znn0sub |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ) → ( 𝑁 ≤ 𝑛 ↔ ( 𝑛 − 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) ) |
16 |
1 15
|
mpan |
⊢ ( 𝑛 ∈ ℤ → ( 𝑁 ≤ 𝑛 ↔ ( 𝑛 − 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) ) |
17 |
16
|
biimpa |
⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑛 ) → ( 𝑛 − 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) |
18 |
17
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝑥 + 1 ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑛 ) ) → ( 𝑛 − 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) |
19 |
|
nn0p1nn |
⊢ ( ( 𝑛 − 𝑁 ) ∈ ℕ0 → ( ( 𝑛 − 𝑁 ) + 1 ) ∈ ℕ ) |
20 |
18 19
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝑥 + 1 ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑛 ) ) → ( ( 𝑛 − 𝑁 ) + 1 ) ∈ ℕ ) |
21 |
14 20
|
eqeltrd |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝑥 + 1 ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑛 ) ) → ( 𝑛 − ( 𝑁 − 1 ) ) ∈ ℕ ) |
22 |
|
simpl |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝑥 + 1 ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑛 ) ) → ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝑥 + 1 ) ∈ 𝐴 ) ) |
23 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑘 = 1 → ( 𝑘 + ( 𝑁 − 1 ) ) = ( 1 + ( 𝑁 − 1 ) ) ) |
24 |
23
|
eleq1d |
⊢ ( 𝑘 = 1 → ( ( 𝑘 + ( 𝑁 − 1 ) ) ∈ 𝐴 ↔ ( 1 + ( 𝑁 − 1 ) ) ∈ 𝐴 ) ) |
25 |
24
|
imbi2d |
⊢ ( 𝑘 = 1 → ( ( ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝑥 + 1 ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝑘 + ( 𝑁 − 1 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ( ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝑥 + 1 ) ∈ 𝐴 ) → ( 1 + ( 𝑁 − 1 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ) |
26 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑘 = 𝑛 → ( 𝑘 + ( 𝑁 − 1 ) ) = ( 𝑛 + ( 𝑁 − 1 ) ) ) |
27 |
26
|
eleq1d |
⊢ ( 𝑘 = 𝑛 → ( ( 𝑘 + ( 𝑁 − 1 ) ) ∈ 𝐴 ↔ ( 𝑛 + ( 𝑁 − 1 ) ) ∈ 𝐴 ) ) |
28 |
27
|
imbi2d |
⊢ ( 𝑘 = 𝑛 → ( ( ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝑥 + 1 ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝑘 + ( 𝑁 − 1 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ( ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝑥 + 1 ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝑛 + ( 𝑁 − 1 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ) |
29 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑘 = ( 𝑛 + 1 ) → ( 𝑘 + ( 𝑁 − 1 ) ) = ( ( 𝑛 + 1 ) + ( 𝑁 − 1 ) ) ) |
30 |
29
|
eleq1d |
⊢ ( 𝑘 = ( 𝑛 + 1 ) → ( ( 𝑘 + ( 𝑁 − 1 ) ) ∈ 𝐴 ↔ ( ( 𝑛 + 1 ) + ( 𝑁 − 1 ) ) ∈ 𝐴 ) ) |
31 |
30
|
imbi2d |
⊢ ( 𝑘 = ( 𝑛 + 1 ) → ( ( ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝑥 + 1 ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝑘 + ( 𝑁 − 1 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ( ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝑥 + 1 ) ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝑛 + 1 ) + ( 𝑁 − 1 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ) |
32 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑘 = ( 𝑛 − ( 𝑁 − 1 ) ) → ( 𝑘 + ( 𝑁 − 1 ) ) = ( ( 𝑛 − ( 𝑁 − 1 ) ) + ( 𝑁 − 1 ) ) ) |
33 |
32
|
eleq1d |
⊢ ( 𝑘 = ( 𝑛 − ( 𝑁 − 1 ) ) → ( ( 𝑘 + ( 𝑁 − 1 ) ) ∈ 𝐴 ↔ ( ( 𝑛 − ( 𝑁 − 1 ) ) + ( 𝑁 − 1 ) ) ∈ 𝐴 ) ) |
34 |
33
|
imbi2d |
⊢ ( 𝑘 = ( 𝑛 − ( 𝑁 − 1 ) ) → ( ( ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝑥 + 1 ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝑘 + ( 𝑁 − 1 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ( ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝑥 + 1 ) ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝑛 − ( 𝑁 − 1 ) ) + ( 𝑁 − 1 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ) |
35 |
8 7
|
pncan3i |
⊢ ( 1 + ( 𝑁 − 1 ) ) = 𝑁 |
36 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝑥 + 1 ) ∈ 𝐴 ) → 𝑁 ∈ 𝐴 ) |
37 |
35 36
|
eqeltrid |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝑥 + 1 ) ∈ 𝐴 ) → ( 1 + ( 𝑁 − 1 ) ) ∈ 𝐴 ) |
38 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑥 = ( 𝑛 + ( 𝑁 − 1 ) ) → ( 𝑥 + 1 ) = ( ( 𝑛 + ( 𝑁 − 1 ) ) + 1 ) ) |
39 |
38
|
eleq1d |
⊢ ( 𝑥 = ( 𝑛 + ( 𝑁 − 1 ) ) → ( ( 𝑥 + 1 ) ∈ 𝐴 ↔ ( ( 𝑛 + ( 𝑁 − 1 ) ) + 1 ) ∈ 𝐴 ) ) |
40 |
39
|
rspccv |
⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝑥 + 1 ) ∈ 𝐴 → ( ( 𝑛 + ( 𝑁 − 1 ) ) ∈ 𝐴 → ( ( 𝑛 + ( 𝑁 − 1 ) ) + 1 ) ∈ 𝐴 ) ) |
41 |
40
|
ad2antll |
⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝑥 + 1 ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑛 + ( 𝑁 − 1 ) ) ∈ 𝐴 → ( ( 𝑛 + ( 𝑁 − 1 ) ) + 1 ) ∈ 𝐴 ) ) |
42 |
|
nncn |
⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ ) |
43 |
42
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝑥 + 1 ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝑛 ∈ ℂ ) |
44 |
|
add32 |
⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℂ ∧ ( 𝑁 − 1 ) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ) → ( ( 𝑛 + ( 𝑁 − 1 ) ) + 1 ) = ( ( 𝑛 + 1 ) + ( 𝑁 − 1 ) ) ) |
45 |
9 8 44
|
mp3an23 |
⊢ ( 𝑛 ∈ ℂ → ( ( 𝑛 + ( 𝑁 − 1 ) ) + 1 ) = ( ( 𝑛 + 1 ) + ( 𝑁 − 1 ) ) ) |
46 |
43 45
|
syl |
⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝑥 + 1 ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑛 + ( 𝑁 − 1 ) ) + 1 ) = ( ( 𝑛 + 1 ) + ( 𝑁 − 1 ) ) ) |
47 |
46
|
eleq1d |
⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝑥 + 1 ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑛 + ( 𝑁 − 1 ) ) + 1 ) ∈ 𝐴 ↔ ( ( 𝑛 + 1 ) + ( 𝑁 − 1 ) ) ∈ 𝐴 ) ) |
48 |
41 47
|
sylibd |
⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝑥 + 1 ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑛 + ( 𝑁 − 1 ) ) ∈ 𝐴 → ( ( 𝑛 + 1 ) + ( 𝑁 − 1 ) ) ∈ 𝐴 ) ) |
49 |
48
|
ex |
⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝑥 + 1 ) ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝑛 + ( 𝑁 − 1 ) ) ∈ 𝐴 → ( ( 𝑛 + 1 ) + ( 𝑁 − 1 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ) |
50 |
49
|
a2d |
⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( ( ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝑥 + 1 ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝑛 + ( 𝑁 − 1 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝑥 + 1 ) ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝑛 + 1 ) + ( 𝑁 − 1 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ) |
51 |
25 28 31 34 37 50
|
nnind |
⊢ ( ( 𝑛 − ( 𝑁 − 1 ) ) ∈ ℕ → ( ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝑥 + 1 ) ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝑛 − ( 𝑁 − 1 ) ) + ( 𝑁 − 1 ) ) ∈ 𝐴 ) ) |
52 |
21 22 51
|
sylc |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝑥 + 1 ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑛 ) ) → ( ( 𝑛 − ( 𝑁 − 1 ) ) + ( 𝑁 − 1 ) ) ∈ 𝐴 ) |
53 |
11 52
|
eqeltrrd |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝑥 + 1 ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑛 ) ) → 𝑛 ∈ 𝐴 ) |
54 |
53
|
ex |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝑥 + 1 ) ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑛 ) → 𝑛 ∈ 𝐴 ) ) |
55 |
3 54
|
syl5bi |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝑥 + 1 ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝑛 ∈ { 𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑘 } → 𝑛 ∈ 𝐴 ) ) |
56 |
55
|
ssrdv |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝑥 + 1 ) ∈ 𝐴 ) → { 𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑘 } ⊆ 𝐴 ) |