Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
peano5uzi.1 |
|- N e. ZZ |
2 |
|
breq2 |
|- ( k = n -> ( N <_ k <-> N <_ n ) ) |
3 |
2
|
elrab |
|- ( n e. { k e. ZZ | N <_ k } <-> ( n e. ZZ /\ N <_ n ) ) |
4 |
|
zcn |
|- ( n e. ZZ -> n e. CC ) |
5 |
4
|
ad2antrl |
|- ( ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) /\ ( n e. ZZ /\ N <_ n ) ) -> n e. CC ) |
6 |
|
zcn |
|- ( N e. ZZ -> N e. CC ) |
7 |
1 6
|
ax-mp |
|- N e. CC |
8 |
|
ax-1cn |
|- 1 e. CC |
9 |
7 8
|
subcli |
|- ( N - 1 ) e. CC |
10 |
|
npcan |
|- ( ( n e. CC /\ ( N - 1 ) e. CC ) -> ( ( n - ( N - 1 ) ) + ( N - 1 ) ) = n ) |
11 |
5 9 10
|
sylancl |
|- ( ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) /\ ( n e. ZZ /\ N <_ n ) ) -> ( ( n - ( N - 1 ) ) + ( N - 1 ) ) = n ) |
12 |
|
subsub |
|- ( ( n e. CC /\ N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( n - ( N - 1 ) ) = ( ( n - N ) + 1 ) ) |
13 |
7 8 12
|
mp3an23 |
|- ( n e. CC -> ( n - ( N - 1 ) ) = ( ( n - N ) + 1 ) ) |
14 |
5 13
|
syl |
|- ( ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) /\ ( n e. ZZ /\ N <_ n ) ) -> ( n - ( N - 1 ) ) = ( ( n - N ) + 1 ) ) |
15 |
|
znn0sub |
|- ( ( N e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( N <_ n <-> ( n - N ) e. NN0 ) ) |
16 |
1 15
|
mpan |
|- ( n e. ZZ -> ( N <_ n <-> ( n - N ) e. NN0 ) ) |
17 |
16
|
biimpa |
|- ( ( n e. ZZ /\ N <_ n ) -> ( n - N ) e. NN0 ) |
18 |
17
|
adantl |
|- ( ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) /\ ( n e. ZZ /\ N <_ n ) ) -> ( n - N ) e. NN0 ) |
19 |
|
nn0p1nn |
|- ( ( n - N ) e. NN0 -> ( ( n - N ) + 1 ) e. NN ) |
20 |
18 19
|
syl |
|- ( ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) /\ ( n e. ZZ /\ N <_ n ) ) -> ( ( n - N ) + 1 ) e. NN ) |
21 |
14 20
|
eqeltrd |
|- ( ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) /\ ( n e. ZZ /\ N <_ n ) ) -> ( n - ( N - 1 ) ) e. NN ) |
22 |
|
simpl |
|- ( ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) /\ ( n e. ZZ /\ N <_ n ) ) -> ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) ) |
23 |
|
oveq1 |
|- ( k = 1 -> ( k + ( N - 1 ) ) = ( 1 + ( N - 1 ) ) ) |
24 |
23
|
eleq1d |
|- ( k = 1 -> ( ( k + ( N - 1 ) ) e. A <-> ( 1 + ( N - 1 ) ) e. A ) ) |
25 |
24
|
imbi2d |
|- ( k = 1 -> ( ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( k + ( N - 1 ) ) e. A ) <-> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( 1 + ( N - 1 ) ) e. A ) ) ) |
26 |
|
oveq1 |
|- ( k = n -> ( k + ( N - 1 ) ) = ( n + ( N - 1 ) ) ) |
27 |
26
|
eleq1d |
|- ( k = n -> ( ( k + ( N - 1 ) ) e. A <-> ( n + ( N - 1 ) ) e. A ) ) |
28 |
27
|
imbi2d |
|- ( k = n -> ( ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( k + ( N - 1 ) ) e. A ) <-> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( n + ( N - 1 ) ) e. A ) ) ) |
29 |
|
oveq1 |
|- ( k = ( n + 1 ) -> ( k + ( N - 1 ) ) = ( ( n + 1 ) + ( N - 1 ) ) ) |
30 |
29
|
eleq1d |
|- ( k = ( n + 1 ) -> ( ( k + ( N - 1 ) ) e. A <-> ( ( n + 1 ) + ( N - 1 ) ) e. A ) ) |
31 |
30
|
imbi2d |
|- ( k = ( n + 1 ) -> ( ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( k + ( N - 1 ) ) e. A ) <-> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( ( n + 1 ) + ( N - 1 ) ) e. A ) ) ) |
32 |
|
oveq1 |
|- ( k = ( n - ( N - 1 ) ) -> ( k + ( N - 1 ) ) = ( ( n - ( N - 1 ) ) + ( N - 1 ) ) ) |
33 |
32
|
eleq1d |
|- ( k = ( n - ( N - 1 ) ) -> ( ( k + ( N - 1 ) ) e. A <-> ( ( n - ( N - 1 ) ) + ( N - 1 ) ) e. A ) ) |
34 |
33
|
imbi2d |
|- ( k = ( n - ( N - 1 ) ) -> ( ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( k + ( N - 1 ) ) e. A ) <-> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( ( n - ( N - 1 ) ) + ( N - 1 ) ) e. A ) ) ) |
35 |
8 7
|
pncan3i |
|- ( 1 + ( N - 1 ) ) = N |
36 |
|
simpl |
|- ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> N e. A ) |
37 |
35 36
|
eqeltrid |
|- ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( 1 + ( N - 1 ) ) e. A ) |
38 |
|
oveq1 |
|- ( x = ( n + ( N - 1 ) ) -> ( x + 1 ) = ( ( n + ( N - 1 ) ) + 1 ) ) |
39 |
38
|
eleq1d |
|- ( x = ( n + ( N - 1 ) ) -> ( ( x + 1 ) e. A <-> ( ( n + ( N - 1 ) ) + 1 ) e. A ) ) |
40 |
39
|
rspccv |
|- ( A. x e. A ( x + 1 ) e. A -> ( ( n + ( N - 1 ) ) e. A -> ( ( n + ( N - 1 ) ) + 1 ) e. A ) ) |
41 |
40
|
ad2antll |
|- ( ( n e. NN /\ ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) ) -> ( ( n + ( N - 1 ) ) e. A -> ( ( n + ( N - 1 ) ) + 1 ) e. A ) ) |
42 |
|
nncn |
|- ( n e. NN -> n e. CC ) |
43 |
42
|
adantr |
|- ( ( n e. NN /\ ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) ) -> n e. CC ) |
44 |
|
add32 |
|- ( ( n e. CC /\ ( N - 1 ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( n + ( N - 1 ) ) + 1 ) = ( ( n + 1 ) + ( N - 1 ) ) ) |
45 |
9 8 44
|
mp3an23 |
|- ( n e. CC -> ( ( n + ( N - 1 ) ) + 1 ) = ( ( n + 1 ) + ( N - 1 ) ) ) |
46 |
43 45
|
syl |
|- ( ( n e. NN /\ ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) ) -> ( ( n + ( N - 1 ) ) + 1 ) = ( ( n + 1 ) + ( N - 1 ) ) ) |
47 |
46
|
eleq1d |
|- ( ( n e. NN /\ ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) ) -> ( ( ( n + ( N - 1 ) ) + 1 ) e. A <-> ( ( n + 1 ) + ( N - 1 ) ) e. A ) ) |
48 |
41 47
|
sylibd |
|- ( ( n e. NN /\ ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) ) -> ( ( n + ( N - 1 ) ) e. A -> ( ( n + 1 ) + ( N - 1 ) ) e. A ) ) |
49 |
48
|
ex |
|- ( n e. NN -> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( ( n + ( N - 1 ) ) e. A -> ( ( n + 1 ) + ( N - 1 ) ) e. A ) ) ) |
50 |
49
|
a2d |
|- ( n e. NN -> ( ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( n + ( N - 1 ) ) e. A ) -> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( ( n + 1 ) + ( N - 1 ) ) e. A ) ) ) |
51 |
25 28 31 34 37 50
|
nnind |
|- ( ( n - ( N - 1 ) ) e. NN -> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( ( n - ( N - 1 ) ) + ( N - 1 ) ) e. A ) ) |
52 |
21 22 51
|
sylc |
|- ( ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) /\ ( n e. ZZ /\ N <_ n ) ) -> ( ( n - ( N - 1 ) ) + ( N - 1 ) ) e. A ) |
53 |
11 52
|
eqeltrrd |
|- ( ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) /\ ( n e. ZZ /\ N <_ n ) ) -> n e. A ) |
54 |
53
|
ex |
|- ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( ( n e. ZZ /\ N <_ n ) -> n e. A ) ) |
55 |
3 54
|
syl5bi |
|- ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> ( n e. { k e. ZZ | N <_ k } -> n e. A ) ) |
56 |
55
|
ssrdv |
|- ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> { k e. ZZ | N <_ k } C_ A ) |