Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
sseq1 |
⊢ ( 𝐻 = if ( 𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻 , ℋ ) → ( 𝐻 ⊆ ( ⊥ ‘ 𝐺 ) ↔ if ( 𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻 , ℋ ) ⊆ ( ⊥ ‘ 𝐺 ) ) ) |
2 |
|
fvoveq1 |
⊢ ( 𝐻 = if ( 𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻 , ℋ ) → ( projℎ ‘ ( 𝐻 ∨ℋ 𝐺 ) ) = ( projℎ ‘ ( if ( 𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻 , ℋ ) ∨ℋ 𝐺 ) ) ) |
3 |
2
|
fveq1d |
⊢ ( 𝐻 = if ( 𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻 , ℋ ) → ( ( projℎ ‘ ( 𝐻 ∨ℋ 𝐺 ) ) ‘ 𝐴 ) = ( ( projℎ ‘ ( if ( 𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻 , ℋ ) ∨ℋ 𝐺 ) ) ‘ 𝐴 ) ) |
4 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝐻 = if ( 𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻 , ℋ ) → ( projℎ ‘ 𝐻 ) = ( projℎ ‘ if ( 𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻 , ℋ ) ) ) |
5 |
4
|
fveq1d |
⊢ ( 𝐻 = if ( 𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻 , ℋ ) → ( ( projℎ ‘ 𝐻 ) ‘ 𝐴 ) = ( ( projℎ ‘ if ( 𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻 , ℋ ) ) ‘ 𝐴 ) ) |
6 |
5
|
oveq1d |
⊢ ( 𝐻 = if ( 𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻 , ℋ ) → ( ( ( projℎ ‘ 𝐻 ) ‘ 𝐴 ) +ℎ ( ( projℎ ‘ 𝐺 ) ‘ 𝐴 ) ) = ( ( ( projℎ ‘ if ( 𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻 , ℋ ) ) ‘ 𝐴 ) +ℎ ( ( projℎ ‘ 𝐺 ) ‘ 𝐴 ) ) ) |
7 |
3 6
|
eqeq12d |
⊢ ( 𝐻 = if ( 𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻 , ℋ ) → ( ( ( projℎ ‘ ( 𝐻 ∨ℋ 𝐺 ) ) ‘ 𝐴 ) = ( ( ( projℎ ‘ 𝐻 ) ‘ 𝐴 ) +ℎ ( ( projℎ ‘ 𝐺 ) ‘ 𝐴 ) ) ↔ ( ( projℎ ‘ ( if ( 𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻 , ℋ ) ∨ℋ 𝐺 ) ) ‘ 𝐴 ) = ( ( ( projℎ ‘ if ( 𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻 , ℋ ) ) ‘ 𝐴 ) +ℎ ( ( projℎ ‘ 𝐺 ) ‘ 𝐴 ) ) ) ) |
8 |
1 7
|
imbi12d |
⊢ ( 𝐻 = if ( 𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻 , ℋ ) → ( ( 𝐻 ⊆ ( ⊥ ‘ 𝐺 ) → ( ( projℎ ‘ ( 𝐻 ∨ℋ 𝐺 ) ) ‘ 𝐴 ) = ( ( ( projℎ ‘ 𝐻 ) ‘ 𝐴 ) +ℎ ( ( projℎ ‘ 𝐺 ) ‘ 𝐴 ) ) ) ↔ ( if ( 𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻 , ℋ ) ⊆ ( ⊥ ‘ 𝐺 ) → ( ( projℎ ‘ ( if ( 𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻 , ℋ ) ∨ℋ 𝐺 ) ) ‘ 𝐴 ) = ( ( ( projℎ ‘ if ( 𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻 , ℋ ) ) ‘ 𝐴 ) +ℎ ( ( projℎ ‘ 𝐺 ) ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) |
9 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝐺 = if ( 𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺 , ℋ ) → ( ⊥ ‘ 𝐺 ) = ( ⊥ ‘ if ( 𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺 , ℋ ) ) ) |
10 |
9
|
sseq2d |
⊢ ( 𝐺 = if ( 𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺 , ℋ ) → ( if ( 𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻 , ℋ ) ⊆ ( ⊥ ‘ 𝐺 ) ↔ if ( 𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻 , ℋ ) ⊆ ( ⊥ ‘ if ( 𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺 , ℋ ) ) ) ) |
11 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝐺 = if ( 𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺 , ℋ ) → ( if ( 𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻 , ℋ ) ∨ℋ 𝐺 ) = ( if ( 𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻 , ℋ ) ∨ℋ if ( 𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺 , ℋ ) ) ) |
12 |
11
|
fveq2d |
⊢ ( 𝐺 = if ( 𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺 , ℋ ) → ( projℎ ‘ ( if ( 𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻 , ℋ ) ∨ℋ 𝐺 ) ) = ( projℎ ‘ ( if ( 𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻 , ℋ ) ∨ℋ if ( 𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺 , ℋ ) ) ) ) |
13 |
12
|
fveq1d |
⊢ ( 𝐺 = if ( 𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺 , ℋ ) → ( ( projℎ ‘ ( if ( 𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻 , ℋ ) ∨ℋ 𝐺 ) ) ‘ 𝐴 ) = ( ( projℎ ‘ ( if ( 𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻 , ℋ ) ∨ℋ if ( 𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺 , ℋ ) ) ) ‘ 𝐴 ) ) |
14 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝐺 = if ( 𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺 , ℋ ) → ( projℎ ‘ 𝐺 ) = ( projℎ ‘ if ( 𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺 , ℋ ) ) ) |
15 |
14
|
fveq1d |
⊢ ( 𝐺 = if ( 𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺 , ℋ ) → ( ( projℎ ‘ 𝐺 ) ‘ 𝐴 ) = ( ( projℎ ‘ if ( 𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺 , ℋ ) ) ‘ 𝐴 ) ) |
16 |
15
|
oveq2d |
⊢ ( 𝐺 = if ( 𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺 , ℋ ) → ( ( ( projℎ ‘ if ( 𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻 , ℋ ) ) ‘ 𝐴 ) +ℎ ( ( projℎ ‘ 𝐺 ) ‘ 𝐴 ) ) = ( ( ( projℎ ‘ if ( 𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻 , ℋ ) ) ‘ 𝐴 ) +ℎ ( ( projℎ ‘ if ( 𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺 , ℋ ) ) ‘ 𝐴 ) ) ) |
17 |
13 16
|
eqeq12d |
⊢ ( 𝐺 = if ( 𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺 , ℋ ) → ( ( ( projℎ ‘ ( if ( 𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻 , ℋ ) ∨ℋ 𝐺 ) ) ‘ 𝐴 ) = ( ( ( projℎ ‘ if ( 𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻 , ℋ ) ) ‘ 𝐴 ) +ℎ ( ( projℎ ‘ 𝐺 ) ‘ 𝐴 ) ) ↔ ( ( projℎ ‘ ( if ( 𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻 , ℋ ) ∨ℋ if ( 𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺 , ℋ ) ) ) ‘ 𝐴 ) = ( ( ( projℎ ‘ if ( 𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻 , ℋ ) ) ‘ 𝐴 ) +ℎ ( ( projℎ ‘ if ( 𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺 , ℋ ) ) ‘ 𝐴 ) ) ) ) |
18 |
10 17
|
imbi12d |
⊢ ( 𝐺 = if ( 𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺 , ℋ ) → ( ( if ( 𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻 , ℋ ) ⊆ ( ⊥ ‘ 𝐺 ) → ( ( projℎ ‘ ( if ( 𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻 , ℋ ) ∨ℋ 𝐺 ) ) ‘ 𝐴 ) = ( ( ( projℎ ‘ if ( 𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻 , ℋ ) ) ‘ 𝐴 ) +ℎ ( ( projℎ ‘ 𝐺 ) ‘ 𝐴 ) ) ) ↔ ( if ( 𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻 , ℋ ) ⊆ ( ⊥ ‘ if ( 𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺 , ℋ ) ) → ( ( projℎ ‘ ( if ( 𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻 , ℋ ) ∨ℋ if ( 𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺 , ℋ ) ) ) ‘ 𝐴 ) = ( ( ( projℎ ‘ if ( 𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻 , ℋ ) ) ‘ 𝐴 ) +ℎ ( ( projℎ ‘ if ( 𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺 , ℋ ) ) ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) |
19 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) → ( ( projℎ ‘ ( if ( 𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻 , ℋ ) ∨ℋ if ( 𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺 , ℋ ) ) ) ‘ 𝐴 ) = ( ( projℎ ‘ ( if ( 𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻 , ℋ ) ∨ℋ if ( 𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺 , ℋ ) ) ) ‘ if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) ) ) |
20 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) → ( ( projℎ ‘ if ( 𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻 , ℋ ) ) ‘ 𝐴 ) = ( ( projℎ ‘ if ( 𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻 , ℋ ) ) ‘ if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) ) ) |
21 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) → ( ( projℎ ‘ if ( 𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺 , ℋ ) ) ‘ 𝐴 ) = ( ( projℎ ‘ if ( 𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺 , ℋ ) ) ‘ if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) ) ) |
22 |
20 21
|
oveq12d |
⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) → ( ( ( projℎ ‘ if ( 𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻 , ℋ ) ) ‘ 𝐴 ) +ℎ ( ( projℎ ‘ if ( 𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺 , ℋ ) ) ‘ 𝐴 ) ) = ( ( ( projℎ ‘ if ( 𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻 , ℋ ) ) ‘ if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) ) +ℎ ( ( projℎ ‘ if ( 𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺 , ℋ ) ) ‘ if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) ) ) ) |
23 |
19 22
|
eqeq12d |
⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) → ( ( ( projℎ ‘ ( if ( 𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻 , ℋ ) ∨ℋ if ( 𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺 , ℋ ) ) ) ‘ 𝐴 ) = ( ( ( projℎ ‘ if ( 𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻 , ℋ ) ) ‘ 𝐴 ) +ℎ ( ( projℎ ‘ if ( 𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺 , ℋ ) ) ‘ 𝐴 ) ) ↔ ( ( projℎ ‘ ( if ( 𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻 , ℋ ) ∨ℋ if ( 𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺 , ℋ ) ) ) ‘ if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) ) = ( ( ( projℎ ‘ if ( 𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻 , ℋ ) ) ‘ if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) ) +ℎ ( ( projℎ ‘ if ( 𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺 , ℋ ) ) ‘ if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) ) ) ) ) |
24 |
23
|
imbi2d |
⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) → ( ( if ( 𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻 , ℋ ) ⊆ ( ⊥ ‘ if ( 𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺 , ℋ ) ) → ( ( projℎ ‘ ( if ( 𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻 , ℋ ) ∨ℋ if ( 𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺 , ℋ ) ) ) ‘ 𝐴 ) = ( ( ( projℎ ‘ if ( 𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻 , ℋ ) ) ‘ 𝐴 ) +ℎ ( ( projℎ ‘ if ( 𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺 , ℋ ) ) ‘ 𝐴 ) ) ) ↔ ( if ( 𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻 , ℋ ) ⊆ ( ⊥ ‘ if ( 𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺 , ℋ ) ) → ( ( projℎ ‘ ( if ( 𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻 , ℋ ) ∨ℋ if ( 𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺 , ℋ ) ) ) ‘ if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) ) = ( ( ( projℎ ‘ if ( 𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻 , ℋ ) ) ‘ if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) ) +ℎ ( ( projℎ ‘ if ( 𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺 , ℋ ) ) ‘ if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) ) ) ) ) ) |
25 |
|
ifchhv |
⊢ if ( 𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻 , ℋ ) ∈ Cℋ |
26 |
|
ifhvhv0 |
⊢ if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) ∈ ℋ |
27 |
|
ifchhv |
⊢ if ( 𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺 , ℋ ) ∈ Cℋ |
28 |
25 26 27
|
pjcji |
⊢ ( if ( 𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻 , ℋ ) ⊆ ( ⊥ ‘ if ( 𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺 , ℋ ) ) → ( ( projℎ ‘ ( if ( 𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻 , ℋ ) ∨ℋ if ( 𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺 , ℋ ) ) ) ‘ if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) ) = ( ( ( projℎ ‘ if ( 𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻 , ℋ ) ) ‘ if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) ) +ℎ ( ( projℎ ‘ if ( 𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺 , ℋ ) ) ‘ if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) ) ) ) |
29 |
8 18 24 28
|
dedth3h |
⊢ ( ( 𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐺 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ) → ( 𝐻 ⊆ ( ⊥ ‘ 𝐺 ) → ( ( projℎ ‘ ( 𝐻 ∨ℋ 𝐺 ) ) ‘ 𝐴 ) = ( ( ( projℎ ‘ 𝐻 ) ‘ 𝐴 ) +ℎ ( ( projℎ ‘ 𝐺 ) ‘ 𝐴 ) ) ) ) |