Theorem plngrot

Description: The plane defined by a line ( X L Y ) and a point Z is also defined by the line ( Z L Y ) and the point X . See first part of Theorem 9.24 of Schwabhauser p. 74. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jun-2026)

	Ref	Expression
Hypotheses	plngval.p	⊢ 𝑃 = ( Base ‘ 𝐺 )
	plngval.i	⊢ 𝐼 = ( Itv ‘ 𝐺 )
	plngval.1	⊢ 𝐿 = ( LineG ‘ 𝐺 )
	plngval.e	⊢ 𝐸 = ( hlG ‘ 𝐺 )
	plngval.g	⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG )
	plngrot.x	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ( 𝑃 ∖ ( 𝑍 𝐿 𝑌 ) ) )
	plngrot.y	⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃 )
	plngrot.z	⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ∈ ( 𝑃 ∖ ( 𝑋 𝐿 𝑌 ) ) )
	plngrot.1	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌 )
Assertion	plngrot	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑋 𝐿 𝑌 ) 𝐸 𝑍 ) = ( ( 𝑍 𝐿 𝑌 ) 𝐸 𝑋 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plngval.p	⊢ 𝑃 = ( Base ‘ 𝐺 )
2		plngval.i	⊢ 𝐼 = ( Itv ‘ 𝐺 )
3		plngval.1	⊢ 𝐿 = ( LineG ‘ 𝐺 )
4		plngval.e	⊢ 𝐸 = ( hlG ‘ 𝐺 )
5		plngval.g	⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG )
6		plngrot.x	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ( 𝑃 ∖ ( 𝑍 𝐿 𝑌 ) ) )
7		plngrot.y	⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃 )
8		plngrot.z	⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ∈ ( 𝑃 ∖ ( 𝑋 𝐿 𝑌 ) ) )
9		plngrot.1	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌 )
10		eqid	⊢ ( Itv ‘ 𝐺 ) = ( Itv ‘ 𝐺 )
11		eleq1w	⊢ ( 𝑎 = 𝑐 → ( 𝑎 ∈ ( 𝑃 ∖ ( 𝑋 𝐿 𝑌 ) ) ↔ 𝑐 ∈ ( 𝑃 ∖ ( 𝑋 𝐿 𝑌 ) ) ) )
12		eleq1w	⊢ ( 𝑏 = 𝑑 → ( 𝑏 ∈ ( 𝑃 ∖ ( 𝑋 𝐿 𝑌 ) ) ↔ 𝑑 ∈ ( 𝑃 ∖ ( 𝑋 𝐿 𝑌 ) ) ) )
13	11 12	bi2anan9	⊢ ( ( 𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑 ) → ( ( 𝑎 ∈ ( 𝑃 ∖ ( 𝑋 𝐿 𝑌 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝑃 ∖ ( 𝑋 𝐿 𝑌 ) ) ) ↔ ( 𝑐 ∈ ( 𝑃 ∖ ( 𝑋 𝐿 𝑌 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑃 ∖ ( 𝑋 𝐿 𝑌 ) ) ) ) )
14		eleq1w	⊢ ( 𝑡 = 𝑢 → ( 𝑡 ∈ ( 𝑎 ( Itv ‘ 𝐺 ) 𝑏 ) ↔ 𝑢 ∈ ( 𝑎 ( Itv ‘ 𝐺 ) 𝑏 ) ) )
15	14	cbvrexvw	⊢ ( ∃ 𝑡 ∈ ( 𝑋 𝐿 𝑌 ) 𝑡 ∈ ( 𝑎 ( Itv ‘ 𝐺 ) 𝑏 ) ↔ ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑋 𝐿 𝑌 ) 𝑢 ∈ ( 𝑎 ( Itv ‘ 𝐺 ) 𝑏 ) )
16		oveq12	⊢ ( ( 𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑 ) → ( 𝑎 ( Itv ‘ 𝐺 ) 𝑏 ) = ( 𝑐 ( Itv ‘ 𝐺 ) 𝑑 ) )
17	16	eleq2d	⊢ ( ( 𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑 ) → ( 𝑢 ∈ ( 𝑎 ( Itv ‘ 𝐺 ) 𝑏 ) ↔ 𝑢 ∈ ( 𝑐 ( Itv ‘ 𝐺 ) 𝑑 ) ) )
18	17	rexbidv	⊢ ( ( 𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑 ) → ( ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑋 𝐿 𝑌 ) 𝑢 ∈ ( 𝑎 ( Itv ‘ 𝐺 ) 𝑏 ) ↔ ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑋 𝐿 𝑌 ) 𝑢 ∈ ( 𝑐 ( Itv ‘ 𝐺 ) 𝑑 ) ) )
19	15 18	bitrid	⊢ ( ( 𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑 ) → ( ∃ 𝑡 ∈ ( 𝑋 𝐿 𝑌 ) 𝑡 ∈ ( 𝑎 ( Itv ‘ 𝐺 ) 𝑏 ) ↔ ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑋 𝐿 𝑌 ) 𝑢 ∈ ( 𝑐 ( Itv ‘ 𝐺 ) 𝑑 ) ) )
20	13 19	anbi12d	⊢ ( ( 𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑 ) → ( ( ( 𝑎 ∈ ( 𝑃 ∖ ( 𝑋 𝐿 𝑌 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝑃 ∖ ( 𝑋 𝐿 𝑌 ) ) ) ∧ ∃ 𝑡 ∈ ( 𝑋 𝐿 𝑌 ) 𝑡 ∈ ( 𝑎 ( Itv ‘ 𝐺 ) 𝑏 ) ) ↔ ( ( 𝑐 ∈ ( 𝑃 ∖ ( 𝑋 𝐿 𝑌 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑃 ∖ ( 𝑋 𝐿 𝑌 ) ) ) ∧ ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑋 𝐿 𝑌 ) 𝑢 ∈ ( 𝑐 ( Itv ‘ 𝐺 ) 𝑑 ) ) ) )
21	20	cbvopabv	⊢ { ⟨ 𝑎 , 𝑏 ⟩ ∣ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝑃 ∖ ( 𝑋 𝐿 𝑌 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝑃 ∖ ( 𝑋 𝐿 𝑌 ) ) ) ∧ ∃ 𝑡 ∈ ( 𝑋 𝐿 𝑌 ) 𝑡 ∈ ( 𝑎 ( Itv ‘ 𝐺 ) 𝑏 ) ) } = { ⟨ 𝑐 , 𝑑 ⟩ ∣ ( ( 𝑐 ∈ ( 𝑃 ∖ ( 𝑋 𝐿 𝑌 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑃 ∖ ( 𝑋 𝐿 𝑌 ) ) ) ∧ ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑋 𝐿 𝑌 ) 𝑢 ∈ ( 𝑐 ( Itv ‘ 𝐺 ) 𝑑 ) ) }
22	1 10 3 4 5 6 7 8 9 21	plngrotlem3	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑋 𝐿 𝑌 ) 𝐸 𝑍 ) ⊆ ( ( 𝑍 𝐿 𝑌 ) 𝐸 𝑋 ) )
23	6	eldifad	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃 )
24	1 2 3 5 23 7 9	tglinerflx2	⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐿 𝑌 ) )
25	8	eldifbd	⊢ ( 𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐿 𝑌 ) )
26		nelne2	⊢ ( ( 𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐿 𝑌 ) ∧ ¬ 𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐿 𝑌 ) ) → 𝑌 ≠ 𝑍 )
27	24 25 26	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑍 )
28	27	necomd	⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ≠ 𝑌 )
29		eleq1w	⊢ ( 𝑎 = 𝑐 → ( 𝑎 ∈ ( 𝑃 ∖ ( 𝑍 𝐿 𝑌 ) ) ↔ 𝑐 ∈ ( 𝑃 ∖ ( 𝑍 𝐿 𝑌 ) ) ) )
30		eleq1w	⊢ ( 𝑏 = 𝑑 → ( 𝑏 ∈ ( 𝑃 ∖ ( 𝑍 𝐿 𝑌 ) ) ↔ 𝑑 ∈ ( 𝑃 ∖ ( 𝑍 𝐿 𝑌 ) ) ) )
31	29 30	bi2anan9	⊢ ( ( 𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑 ) → ( ( 𝑎 ∈ ( 𝑃 ∖ ( 𝑍 𝐿 𝑌 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝑃 ∖ ( 𝑍 𝐿 𝑌 ) ) ) ↔ ( 𝑐 ∈ ( 𝑃 ∖ ( 𝑍 𝐿 𝑌 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑃 ∖ ( 𝑍 𝐿 𝑌 ) ) ) ) )
32	14	cbvrexvw	⊢ ( ∃ 𝑡 ∈ ( 𝑍 𝐿 𝑌 ) 𝑡 ∈ ( 𝑎 ( Itv ‘ 𝐺 ) 𝑏 ) ↔ ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑍 𝐿 𝑌 ) 𝑢 ∈ ( 𝑎 ( Itv ‘ 𝐺 ) 𝑏 ) )
33	17	rexbidv	⊢ ( ( 𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑 ) → ( ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑍 𝐿 𝑌 ) 𝑢 ∈ ( 𝑎 ( Itv ‘ 𝐺 ) 𝑏 ) ↔ ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑍 𝐿 𝑌 ) 𝑢 ∈ ( 𝑐 ( Itv ‘ 𝐺 ) 𝑑 ) ) )
34	32 33	bitrid	⊢ ( ( 𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑 ) → ( ∃ 𝑡 ∈ ( 𝑍 𝐿 𝑌 ) 𝑡 ∈ ( 𝑎 ( Itv ‘ 𝐺 ) 𝑏 ) ↔ ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑍 𝐿 𝑌 ) 𝑢 ∈ ( 𝑐 ( Itv ‘ 𝐺 ) 𝑑 ) ) )
35	31 34	anbi12d	⊢ ( ( 𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑 ) → ( ( ( 𝑎 ∈ ( 𝑃 ∖ ( 𝑍 𝐿 𝑌 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝑃 ∖ ( 𝑍 𝐿 𝑌 ) ) ) ∧ ∃ 𝑡 ∈ ( 𝑍 𝐿 𝑌 ) 𝑡 ∈ ( 𝑎 ( Itv ‘ 𝐺 ) 𝑏 ) ) ↔ ( ( 𝑐 ∈ ( 𝑃 ∖ ( 𝑍 𝐿 𝑌 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑃 ∖ ( 𝑍 𝐿 𝑌 ) ) ) ∧ ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑍 𝐿 𝑌 ) 𝑢 ∈ ( 𝑐 ( Itv ‘ 𝐺 ) 𝑑 ) ) ) )
36	35	cbvopabv	⊢ { ⟨ 𝑎 , 𝑏 ⟩ ∣ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝑃 ∖ ( 𝑍 𝐿 𝑌 ) ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝑃 ∖ ( 𝑍 𝐿 𝑌 ) ) ) ∧ ∃ 𝑡 ∈ ( 𝑍 𝐿 𝑌 ) 𝑡 ∈ ( 𝑎 ( Itv ‘ 𝐺 ) 𝑏 ) ) } = { ⟨ 𝑐 , 𝑑 ⟩ ∣ ( ( 𝑐 ∈ ( 𝑃 ∖ ( 𝑍 𝐿 𝑌 ) ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑃 ∖ ( 𝑍 𝐿 𝑌 ) ) ) ∧ ∃ 𝑢 ∈ ( 𝑍 𝐿 𝑌 ) 𝑢 ∈ ( 𝑐 ( Itv ‘ 𝐺 ) 𝑑 ) ) }
37	1 10 3 4 5 8 7 6 28 36	plngrotlem3	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑍 𝐿 𝑌 ) 𝐸 𝑋 ) ⊆ ( ( 𝑋 𝐿 𝑌 ) 𝐸 𝑍 ) )
38	22 37	eqssd	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑋 𝐿 𝑌 ) 𝐸 𝑍 ) = ( ( 𝑍 𝐿 𝑌 ) 𝐸 𝑋 ) )