Theorem resinval

Description: The sine of a real number in terms of the exponential function. (Contributed by NM, 30-Apr-2005)

	Ref	Expression
Assertion	resinval	⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → ( sin ‘ 𝐴 ) = ( ℑ ‘ ( exp ‘ ( i · 𝐴 ) ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn	⊢ i ∈ ℂ
2		recn	⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ )
3		cjmul	⊢ ( ( i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ) → ( ∗ ‘ ( i · 𝐴 ) ) = ( ( ∗ ‘ i ) · ( ∗ ‘ 𝐴 ) ) )
4	1 2 3	sylancr	⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → ( ∗ ‘ ( i · 𝐴 ) ) = ( ( ∗ ‘ i ) · ( ∗ ‘ 𝐴 ) ) )
5		cji	⊢ ( ∗ ‘ i ) = - i
6	5	oveq1i	⊢ ( ( ∗ ‘ i ) · ( ∗ ‘ 𝐴 ) ) = ( - i · ( ∗ ‘ 𝐴 ) )
7		cjre	⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → ( ∗ ‘ 𝐴 ) = 𝐴 )
8	7	oveq2d	⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → ( - i · ( ∗ ‘ 𝐴 ) ) = ( - i · 𝐴 ) )
9	6 8	syl5eq	⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → ( ( ∗ ‘ i ) · ( ∗ ‘ 𝐴 ) ) = ( - i · 𝐴 ) )
10	4 9	eqtrd	⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → ( ∗ ‘ ( i · 𝐴 ) ) = ( - i · 𝐴 ) )
11	10	fveq2d	⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → ( exp ‘ ( ∗ ‘ ( i · 𝐴 ) ) ) = ( exp ‘ ( - i · 𝐴 ) ) )
12		mulcl	⊢ ( ( i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ) → ( i · 𝐴 ) ∈ ℂ )
13	1 2 12	sylancr	⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → ( i · 𝐴 ) ∈ ℂ )
14		efcj	⊢ ( ( i · 𝐴 ) ∈ ℂ → ( exp ‘ ( ∗ ‘ ( i · 𝐴 ) ) ) = ( ∗ ‘ ( exp ‘ ( i · 𝐴 ) ) ) )
15	13 14	syl	⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → ( exp ‘ ( ∗ ‘ ( i · 𝐴 ) ) ) = ( ∗ ‘ ( exp ‘ ( i · 𝐴 ) ) ) )
16	11 15	eqtr3d	⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → ( exp ‘ ( - i · 𝐴 ) ) = ( ∗ ‘ ( exp ‘ ( i · 𝐴 ) ) ) )
17	16	oveq2d	⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → ( ( exp ‘ ( i · 𝐴 ) ) − ( exp ‘ ( - i · 𝐴 ) ) ) = ( ( exp ‘ ( i · 𝐴 ) ) − ( ∗ ‘ ( exp ‘ ( i · 𝐴 ) ) ) ) )
18	17	oveq1d	⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → ( ( ( exp ‘ ( i · 𝐴 ) ) − ( exp ‘ ( - i · 𝐴 ) ) ) / ( 2 · i ) ) = ( ( ( exp ‘ ( i · 𝐴 ) ) − ( ∗ ‘ ( exp ‘ ( i · 𝐴 ) ) ) ) / ( 2 · i ) ) )
19		sinval	⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( sin ‘ 𝐴 ) = ( ( ( exp ‘ ( i · 𝐴 ) ) − ( exp ‘ ( - i · 𝐴 ) ) ) / ( 2 · i ) ) )
20	2 19	syl	⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → ( sin ‘ 𝐴 ) = ( ( ( exp ‘ ( i · 𝐴 ) ) − ( exp ‘ ( - i · 𝐴 ) ) ) / ( 2 · i ) ) )
21		efcl	⊢ ( ( i · 𝐴 ) ∈ ℂ → ( exp ‘ ( i · 𝐴 ) ) ∈ ℂ )
22		imval2	⊢ ( ( exp ‘ ( i · 𝐴 ) ) ∈ ℂ → ( ℑ ‘ ( exp ‘ ( i · 𝐴 ) ) ) = ( ( ( exp ‘ ( i · 𝐴 ) ) − ( ∗ ‘ ( exp ‘ ( i · 𝐴 ) ) ) ) / ( 2 · i ) ) )
23	13 21 22	3syl	⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → ( ℑ ‘ ( exp ‘ ( i · 𝐴 ) ) ) = ( ( ( exp ‘ ( i · 𝐴 ) ) − ( ∗ ‘ ( exp ‘ ( i · 𝐴 ) ) ) ) / ( 2 · i ) ) )
24	18 20 23	3eqtr4d	⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → ( sin ‘ 𝐴 ) = ( ℑ ‘ ( exp ‘ ( i · 𝐴 ) ) ) )