Theorem reupick

Description: Restricted uniqueness "picks" a member of a subclass. (Contributed by NM, 21-Aug-1999)

	Ref	Expression
Assertion	reupick	⊢ ( ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃! 𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 ) ) ∧ 𝜑 ) → ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel	⊢ ( 𝐴 ⊆ 𝐵 → ( 𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵 ) )
2	1	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃! 𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 ) ) ∧ 𝜑 ) → ( 𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵 ) )
3		df-rex	⊢ ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∃ 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) )
4		df-reu	⊢ ( ∃! 𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ∃! 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑 ) )
5	3 4	anbi12i	⊢ ( ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃! 𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 ) ↔ ( ∃ 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) ∧ ∃! 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑 ) ) )
6	1	ancrd	⊢ ( 𝐴 ⊆ 𝐵 → ( 𝑥 ∈ 𝐴 → ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ) )
7	6	anim1d	⊢ ( 𝐴 ⊆ 𝐵 → ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) → ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝜑 ) ) )
8		an32	⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝜑 ) ↔ ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) )
9	7 8	imbitrdi	⊢ ( 𝐴 ⊆ 𝐵 → ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) → ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ) )
10	9	eximdv	⊢ ( 𝐴 ⊆ 𝐵 → ( ∃ 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) → ∃ 𝑥 ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ) )
11		eupick	⊢ ( ( ∃! 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑 ) ∧ ∃ 𝑥 ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑 ) → 𝑥 ∈ 𝐴 ) )
12	11	ex	⊢ ( ∃! 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑 ) → ( ∃ 𝑥 ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑 ) → 𝑥 ∈ 𝐴 ) ) )
13	10 12	syl9	⊢ ( 𝐴 ⊆ 𝐵 → ( ∃! 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑 ) → ( ∃ 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) → ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑 ) → 𝑥 ∈ 𝐴 ) ) ) )
14	13	com23	⊢ ( 𝐴 ⊆ 𝐵 → ( ∃ 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) → ( ∃! 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑 ) → ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑 ) → 𝑥 ∈ 𝐴 ) ) ) )
15	14	imp32	⊢ ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( ∃ 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) ∧ ∃! 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑 ) ) ) → ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑 ) → 𝑥 ∈ 𝐴 ) )
16	5 15	sylan2b	⊢ ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃! 𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 ) ) → ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑 ) → 𝑥 ∈ 𝐴 ) )
17	16	expcomd	⊢ ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃! 𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 ) ) → ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝐴 ) ) )
18	17	imp	⊢ ( ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃! 𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 ) ) ∧ 𝜑 ) → ( 𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝐴 ) )
19	2 18	impbid	⊢ ( ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃! 𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 ) ) ∧ 𝜑 ) → ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵 ) )