Theorem reuun2

Description: Transfer uniqueness to a smaller or larger class. (Contributed by NM, 21-Oct-2005) (Proof shortened by Wolf Lammen, 15-May-2025)

	Ref	Expression
Assertion	reuun2	⊢ ( ¬ ∃ 𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 → ( ∃! 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∪ 𝐵 ) 𝜑 ↔ ∃! 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex	⊢ ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ∃ 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑 ) )
2		euor2	⊢ ( ¬ ∃ 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑 ) → ( ∃! 𝑥 ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑 ) ∨ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) ) ↔ ∃! 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) ) )
3	1 2	sylnbi	⊢ ( ¬ ∃ 𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 → ( ∃! 𝑥 ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑 ) ∨ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) ) ↔ ∃! 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) ) )
4		df-reu	⊢ ( ∃! 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∪ 𝐵 ) 𝜑 ↔ ∃! 𝑥 ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∪ 𝐵 ) ∧ 𝜑 ) )
5		elun	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∪ 𝐵 ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵 ) )
6	5	anbi1i	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∪ 𝐵 ) ∧ 𝜑 ) ↔ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝜑 ) )
7		andir	⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝜑 ) ↔ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) ∨ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑 ) ) )
8		orcom	⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) ∨ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑 ) ) ↔ ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑 ) ∨ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) ) )
9	6 7 8	3bitri	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∪ 𝐵 ) ∧ 𝜑 ) ↔ ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑 ) ∨ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) ) )
10	9	eubii	⊢ ( ∃! 𝑥 ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∪ 𝐵 ) ∧ 𝜑 ) ↔ ∃! 𝑥 ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑 ) ∨ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) ) )
11	4 10	bitri	⊢ ( ∃! 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∪ 𝐵 ) 𝜑 ↔ ∃! 𝑥 ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑 ) ∨ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) ) )
12		df-reu	⊢ ( ∃! 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∃! 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) )
13	3 11 12	3bitr4g	⊢ ( ¬ ∃ 𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 → ( ∃! 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∪ 𝐵 ) 𝜑 ↔ ∃! 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ) )