Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
df-rex |
⊢ ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ∃ 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑 ) ) |
2 |
|
euor2 |
⊢ ( ¬ ∃ 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑 ) → ( ∃! 𝑥 ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑 ) ∨ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) ) ↔ ∃! 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) ) ) |
3 |
1 2
|
sylnbi |
⊢ ( ¬ ∃ 𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 → ( ∃! 𝑥 ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑 ) ∨ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) ) ↔ ∃! 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) ) ) |
4 |
|
df-reu |
⊢ ( ∃! 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∪ 𝐵 ) 𝜑 ↔ ∃! 𝑥 ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∪ 𝐵 ) ∧ 𝜑 ) ) |
5 |
|
elun |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∪ 𝐵 ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ) |
6 |
5
|
anbi1i |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∪ 𝐵 ) ∧ 𝜑 ) ↔ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝜑 ) ) |
7 |
|
andir |
⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝜑 ) ↔ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) ∨ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑 ) ) ) |
8 |
|
orcom |
⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) ∨ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑 ) ) ↔ ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑 ) ∨ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) ) ) |
9 |
7 8
|
bitri |
⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝜑 ) ↔ ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑 ) ∨ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) ) ) |
10 |
6 9
|
bitri |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∪ 𝐵 ) ∧ 𝜑 ) ↔ ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑 ) ∨ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) ) ) |
11 |
10
|
eubii |
⊢ ( ∃! 𝑥 ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∪ 𝐵 ) ∧ 𝜑 ) ↔ ∃! 𝑥 ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑 ) ∨ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) ) ) |
12 |
4 11
|
bitri |
⊢ ( ∃! 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∪ 𝐵 ) 𝜑 ↔ ∃! 𝑥 ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑 ) ∨ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) ) ) |
13 |
|
df-reu |
⊢ ( ∃! 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∃! 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) ) |
14 |
3 12 13
|
3bitr4g |
⊢ ( ¬ ∃ 𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 → ( ∃! 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∪ 𝐵 ) 𝜑 ↔ ∃! 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ) ) |