Theorem rexdifpr

Description: Restricted existential quantification over a set with two elements removed. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Feb-2018) (Proof shortened by Wolf Lammen, 15-May-2025)

	Ref	Expression
Assertion	rexdifpr	⊢ ( ∃ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∖ { 𝐵 , 𝐶 } ) 𝜑 ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 𝐶 ∧ 𝜑 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		anass	⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 𝐶 ) ) ∧ 𝜑 ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ( ( 𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 𝐶 ) ∧ 𝜑 ) ) )
2		eldifpr	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∖ { 𝐵 , 𝐶 } ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 𝐶 ) )
3		3anass	⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 𝐶 ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 𝐶 ) ) )
4	2 3	bitri	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∖ { 𝐵 , 𝐶 } ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 𝐶 ) ) )
5	4	anbi1i	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∖ { 𝐵 , 𝐶 } ) ∧ 𝜑 ) ↔ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 𝐶 ) ) ∧ 𝜑 ) )
6		df-3an	⊢ ( ( 𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 𝐶 ∧ 𝜑 ) ↔ ( ( 𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 𝐶 ) ∧ 𝜑 ) )
7	6	anbi2i	⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 𝐶 ∧ 𝜑 ) ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ( ( 𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 𝐶 ) ∧ 𝜑 ) ) )
8	1 5 7	3bitr4i	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∖ { 𝐵 , 𝐶 } ) ∧ 𝜑 ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 𝐶 ∧ 𝜑 ) ) )
9	8	rexbii2	⊢ ( ∃ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∖ { 𝐵 , 𝐶 } ) 𝜑 ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 𝐶 ∧ 𝜑 ) )