Theorem sepnsepolem1

Description: Lemma for sepnsepo . (Contributed by Zhi Wang, 1-Sep-2024)

	Ref	Expression
Assertion	sepnsepolem1	⊢ ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐽 ∃ 𝑦 ∈ 𝐽 ( 𝜑 ∧ 𝜓 ∧ 𝜒 ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝐽 ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑦 ∈ 𝐽 ( 𝜓 ∧ 𝜒 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3anass	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝜓 ∧ 𝜒 ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝜓 ∧ 𝜒 ) ) )
2	1	2rexbii	⊢ ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐽 ∃ 𝑦 ∈ 𝐽 ( 𝜑 ∧ 𝜓 ∧ 𝜒 ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝐽 ∃ 𝑦 ∈ 𝐽 ( 𝜑 ∧ ( 𝜓 ∧ 𝜒 ) ) )
3		r19.42v	⊢ ( ∃ 𝑦 ∈ 𝐽 ( 𝜑 ∧ ( 𝜓 ∧ 𝜒 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑦 ∈ 𝐽 ( 𝜓 ∧ 𝜒 ) ) )
4	3	rexbii	⊢ ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐽 ∃ 𝑦 ∈ 𝐽 ( 𝜑 ∧ ( 𝜓 ∧ 𝜒 ) ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝐽 ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑦 ∈ 𝐽 ( 𝜓 ∧ 𝜒 ) ) )
5	2 4	bitri	⊢ ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐽 ∃ 𝑦 ∈ 𝐽 ( 𝜑 ∧ 𝜓 ∧ 𝜒 ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝐽 ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑦 ∈ 𝐽 ( 𝜓 ∧ 𝜒 ) ) )