Description: Lemma for sepnsepo . (Contributed by Zhi Wang, 1-Sep-2024)
Ref | Expression | ||
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Assertion | sepnsepolem1 | ⊢ ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐽 ∃ 𝑦 ∈ 𝐽 ( 𝜑 ∧ 𝜓 ∧ 𝜒 ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝐽 ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑦 ∈ 𝐽 ( 𝜓 ∧ 𝜒 ) ) ) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | 3anass | ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝜓 ∧ 𝜒 ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝜓 ∧ 𝜒 ) ) ) | |
2 | 1 | 2rexbii | ⊢ ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐽 ∃ 𝑦 ∈ 𝐽 ( 𝜑 ∧ 𝜓 ∧ 𝜒 ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝐽 ∃ 𝑦 ∈ 𝐽 ( 𝜑 ∧ ( 𝜓 ∧ 𝜒 ) ) ) |
3 | r19.42v | ⊢ ( ∃ 𝑦 ∈ 𝐽 ( 𝜑 ∧ ( 𝜓 ∧ 𝜒 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑦 ∈ 𝐽 ( 𝜓 ∧ 𝜒 ) ) ) | |
4 | 3 | rexbii | ⊢ ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐽 ∃ 𝑦 ∈ 𝐽 ( 𝜑 ∧ ( 𝜓 ∧ 𝜒 ) ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝐽 ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑦 ∈ 𝐽 ( 𝜓 ∧ 𝜒 ) ) ) |
5 | 2 4 | bitri | ⊢ ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐽 ∃ 𝑦 ∈ 𝐽 ( 𝜑 ∧ 𝜓 ∧ 𝜒 ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝐽 ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑦 ∈ 𝐽 ( 𝜓 ∧ 𝜒 ) ) ) |