Theorem sn-00idlem2

Description: Lemma for sn-00id . (Contributed by SN, 25-Dec-2023)

	Ref	Expression
Assertion	sn-00idlem2	⊢ ( ( 0 −ℝ 0 ) ≠ 0 → ( 0 −ℝ 0 ) = 1 )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re	⊢ 0 ∈ ℝ
2		rennncan2	⊢ ( ( 0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ) → ( ( 0 −ℝ 0 ) −ℝ ( 0 −ℝ 0 ) ) = ( 0 −ℝ 0 ) )
3	1 1 1 2	mp3an	⊢ ( ( 0 −ℝ 0 ) −ℝ ( 0 −ℝ 0 ) ) = ( 0 −ℝ 0 )
4		re1m1e0m0	⊢ ( 1 −ℝ 1 ) = ( 0 −ℝ 0 )
5	3 4	eqtr4i	⊢ ( ( 0 −ℝ 0 ) −ℝ ( 0 −ℝ 0 ) ) = ( 1 −ℝ 1 )
6		rernegcl	⊢ ( 0 ∈ ℝ → ( 0 −ℝ 0 ) ∈ ℝ )
7	1 6	ax-mp	⊢ ( 0 −ℝ 0 ) ∈ ℝ
8		sn-00idlem1	⊢ ( ( 0 −ℝ 0 ) ∈ ℝ → ( ( 0 −ℝ 0 ) · ( 0 −ℝ 0 ) ) = ( ( 0 −ℝ 0 ) −ℝ ( 0 −ℝ 0 ) ) )
9	7 8	ax-mp	⊢ ( ( 0 −ℝ 0 ) · ( 0 −ℝ 0 ) ) = ( ( 0 −ℝ 0 ) −ℝ ( 0 −ℝ 0 ) )
10		1re	⊢ 1 ∈ ℝ
11		sn-00idlem1	⊢ ( 1 ∈ ℝ → ( 1 · ( 0 −ℝ 0 ) ) = ( 1 −ℝ 1 ) )
12	10 11	ax-mp	⊢ ( 1 · ( 0 −ℝ 0 ) ) = ( 1 −ℝ 1 )
13	5 9 12	3eqtr4i	⊢ ( ( 0 −ℝ 0 ) · ( 0 −ℝ 0 ) ) = ( 1 · ( 0 −ℝ 0 ) )
14	7	a1i	⊢ ( ( 0 −ℝ 0 ) ≠ 0 → ( 0 −ℝ 0 ) ∈ ℝ )
15		1red	⊢ ( ( 0 −ℝ 0 ) ≠ 0 → 1 ∈ ℝ )
16		id	⊢ ( ( 0 −ℝ 0 ) ≠ 0 → ( 0 −ℝ 0 ) ≠ 0 )
17	14 15 14 16	remulcan2d	⊢ ( ( 0 −ℝ 0 ) ≠ 0 → ( ( ( 0 −ℝ 0 ) · ( 0 −ℝ 0 ) ) = ( 1 · ( 0 −ℝ 0 ) ) ↔ ( 0 −ℝ 0 ) = 1 ) )
18	13 17	mpbii	⊢ ( ( 0 −ℝ 0 ) ≠ 0 → ( 0 −ℝ 0 ) = 1 )