Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
snfi |
⊢ { 𝑋 } ∈ Fin |
2 |
|
snopsuppss |
⊢ ( { 〈 𝑋 , 𝑌 〉 } supp 𝑍 ) ⊆ { 𝑋 } |
3 |
1 2
|
pm3.2i |
⊢ ( { 𝑋 } ∈ Fin ∧ ( { 〈 𝑋 , 𝑌 〉 } supp 𝑍 ) ⊆ { 𝑋 } ) |
4 |
|
ssfi |
⊢ ( ( { 𝑋 } ∈ Fin ∧ ( { 〈 𝑋 , 𝑌 〉 } supp 𝑍 ) ⊆ { 𝑋 } ) → ( { 〈 𝑋 , 𝑌 〉 } supp 𝑍 ) ∈ Fin ) |
5 |
3 4
|
mp1i |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈 ) → ( { 〈 𝑋 , 𝑌 〉 } supp 𝑍 ) ∈ Fin ) |
6 |
|
funsng |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊 ) → Fun { 〈 𝑋 , 𝑌 〉 } ) |
7 |
6
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈 ) → Fun { 〈 𝑋 , 𝑌 〉 } ) |
8 |
|
snex |
⊢ { 〈 𝑋 , 𝑌 〉 } ∈ V |
9 |
8
|
a1i |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈 ) → { 〈 𝑋 , 𝑌 〉 } ∈ V ) |
10 |
|
simp3 |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈 ) → 𝑍 ∈ 𝑈 ) |
11 |
|
funisfsupp |
⊢ ( ( Fun { 〈 𝑋 , 𝑌 〉 } ∧ { 〈 𝑋 , 𝑌 〉 } ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑈 ) → ( { 〈 𝑋 , 𝑌 〉 } finSupp 𝑍 ↔ ( { 〈 𝑋 , 𝑌 〉 } supp 𝑍 ) ∈ Fin ) ) |
12 |
7 9 10 11
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈 ) → ( { 〈 𝑋 , 𝑌 〉 } finSupp 𝑍 ↔ ( { 〈 𝑋 , 𝑌 〉 } supp 𝑍 ) ∈ Fin ) ) |
13 |
5 12
|
mpbird |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈 ) → { 〈 𝑋 , 𝑌 〉 } finSupp 𝑍 ) |